Номер 202, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

202. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, учитывая, что радиус основания равен 20 см.

Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, а AB — хорда в основании. Сечение, о котором идет речь в задаче, — это равнобедренный треугольник SAB.

По условию, радиус основания $R = OA = OB = 20$ см. Хорда AB стягивает дугу в $120^\circ$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 120^\circ$. Найдем длину хорды AB, используя теорему косинусов для треугольника AOB:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -0.5$, получаем:

$AB^2 = 400 + 400 - 800 \cdot (-0.5) = 800 + 400 = 1200$

$AB = \sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}$ см.

Площадь сечения (треугольника SAB) можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Основанием является хорда AB. Высотой является апофема SM, где M — середина хорды AB.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания — это угол между высотой сечения SM и ее проекцией на плоскость основания. Проекцией точки S на основание является центр O. Проекцией апофемы SM является отрезок OM. Таким образом, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу $\angle SMO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник AOB в основании. Он равнобедренный, поэтому его высота OM, проведенная к основанию AB, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, OM перпендикулярна AB, и $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника OMA найдем длину OM:

$OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = 20 \cdot \cos(60^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как SO — высота конуса). В этом треугольнике мы знаем катет OM и угол $\angle SMO = 45^\circ$. Найдем гипотенузу SM (высоту сечения):

$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} \implies SM = \frac{OM}{\cos(45^\circ)}$

$SM = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения — треугольника SAB:

$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot 10\sqrt{2} = 10\sqrt{3} \cdot 10\sqrt{2} = 100\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $100\sqrt{6}$ см$^2$.