Номер 199, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

199. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей соответствующего конуса и его высотой.

Пусть радиус полукруга равен $R$. При сворачивании полукруга в коническую поверхность его радиус становится образующей конуса, которую мы обозначим как $L$. Таким образом, $L = R$.

Длина дуги этого полукруга вычисляется как половина длины окружности с радиусом $R$ и равна $C_{дуги} = \pi R$. Когда из полукруга формируется конус, эта дуга становится окружностью его основания.

Пусть радиус основания конуса равен $r$. Длина окружности основания равна $C_{основания} = 2\pi r$.

Так как $C_{дуги} = C_{основания}$, мы можем записать:$ \pi R = 2\pi r $

Выразим радиус основания $r$ через образующую $L$ (вспоминая, что $L=R$):$ r = \frac{\pi R}{2\pi} = \frac{R}{2} = \frac{L}{2} $

Теперь рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей $L$. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой, а $H$ и $r$ — катетами.

Нам нужно найти угол $\alpha$ между образующей $L$ и высотой $H$. В указанном прямоугольном треугольнике этот угол находится между гипотенузой $L$ и катетом $H$. Противолежащим этому углу катетом является радиус основания $r$.

Используем определение синуса угла:$ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{L} $

Подставим найденное ранее соотношение $r = \frac{L}{2}$:$ \sin(\alpha) = \frac{\frac{L}{2}}{L} = \frac{1}{2} $

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$