Номер 194, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

194. Найдите поверхность тела, образованного вращением:

а) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета;

б) равнобедренного треугольника с боковой стороной $m$ и углом при основании $\phi$ вокруг основания;

в) прямоугольного треугольника с катетом $a$ и прилежащим к нему углом в $60^{\circ}$ вокруг оси, проходящей через вершину данного острого угла перпендикулярно катету.

а) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета;

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. В данном случае вращение происходит вокруг меньшего катета.

Пусть катеты равны $k_1 = 6$ см и $k_2 = 8$ см. Меньший катет $k_1 = 6$ см. Этот катет становится высотой конуса $h = 6$ см. Второй катет $k_2 = 8$ см становится радиусом основания конуса $r = 8$ см. Гипотенуза треугольника становится образующей конуса $l$.

Найдем длину образующей $l$ по теореме Пифагора:
$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Поверхность тела вращения (конуса) состоит из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.
Площадь основания (круга) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.
$S_{осн} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.
$S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80\pi$ см².

Полная поверхность тела вращения равна сумме этих площадей:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64\pi + 80\pi = 144\pi$ см².

Ответ: $144\pi$ см².

б) равнобедренного треугольника с боковой стороной $m$ и углом при основании $\phi$ вокруг основания;

При вращении равнобедренного треугольника вокруг его основания образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных основаниями. Поверхность этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Боковая сторона треугольника является образующей $l$ каждого конуса, то есть $l = m$.
Высота треугольника, опущенная на основание, является радиусом $r$ общего основания конусов. Найдем эту высоту из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной основания и высотой. В этом треугольнике угол при основании равен $\phi$.
Радиус $r$ равен $r = m \cdot \sin(\phi)$.

Площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{бок} = \pi r l = \pi (m \sin(\phi)) m = \pi m^2 \sin(\phi)$.

Так как тело состоит из двух таких конусов, общая площадь поверхности равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{бок} = 2 \pi m^2 \sin(\phi)$.

Ответ: $2 \pi m^2 \sin(\phi)$.

в) прямоугольного треугольника с катетом $a$ и прилежащим к нему углом в 60° вокруг оси, проходящей через вершину данного острого угла перпендикулярно катету.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60^\circ$. Ось вращения проходит через вершину A перпендикулярно катету AC.

Найдем длины других сторон треугольника:
Второй катет $BC = AC \cdot \tan(\angle A) = a \cdot \tan(60^\circ) = a\sqrt{3}$.
Гипотенуза $AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)} = \frac{a}{\cos(60^\circ)} = \frac{a}{1/2} = 2a$.

Тело, образованное вращением, представляет собой цилиндр с конической полостью. Поверхность этого тела состоит из трёх частей:

1. Вращение катета AC вокруг оси, проходящей через точку A перпендикулярно AC, образует круг (основание цилиндра). Радиус этого круга равен длине катета AC, то есть $r = a$.
Площадь этого основания: $S_1 = \pi r^2 = \pi a^2$.

2. Вращение катета BC. Катет BC параллелен оси вращения и находится на расстоянии $a$ от неё. Его вращение образует боковую поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $r = a$, а высота $h = BC = a\sqrt{3}$.
Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_2 = 2\pi r h = 2\pi a (a\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\pi a^2$.

3. Вращение гипотенузы AB. Один конец гипотенузы (точка A) лежит на оси вращения. Вращение гипотенузы образует боковую поверхность конуса. Образующая этого конуса $l = AB = 2a$. Радиус основания конуса равен расстоянию от точки B до оси вращения, что равно длине катета AC, то есть $r = a$.
Площадь боковой поверхности конуса: $S_3 = \pi r l = \pi a (2a) = 2\pi a^2$.

Полная поверхность тела вращения является суммой площадей этих трёх поверхностей:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi a^2 + 2\sqrt{3}\pi a^2 + 2\pi a^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 2)\pi a^2 = (3 + 2\sqrt{3})\pi a^2$.

Ответ: $(3 + 2\sqrt{3})\pi a^2$.