Номер 198, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

198. Сектор с радиусом 6 м и углом в $120^{\circ}$ свернут в коническую поверхность. Найдите площадь основания и высоту соответствующего конуса.

При сворачивании сектора круга в коническую поверхность, радиус сектора становится образующей конуса ($L$), а длина дуги этого сектора ($l$) становится длиной окружности основания конуса ($C$).

По условию задачи даны:

• Радиус сектора, который равен образующей конуса: $L = 6$ м.
• Угол сектора: $\alpha = 120°$.

Для начала найдем длину дуги сектора по формуле: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi L$
Подставив данные, получаем: $l = \frac{120°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 12\pi = 4\pi$ м.

Длина окружности основания конуса $C$ равна длине дуги сектора $l$. Зная это, найдем радиус основания конуса $r$ из формулы длины окружности $C = 2\pi r$: $2\pi r = 4\pi$
$r = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$ м.

Теперь, зная радиус основания $r$ и образующую $L$, мы можем найти площадь основания и высоту конуса.

площадь основания

Площадь основания конуса ($S_{осн}$) — это площадь круга с радиусом $r$. Формула для площади круга: $S = \pi r^2$.
Подставим значение радиуса $r = 2$ м: $S_{осн} = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ м².
Ответ: Площадь основания конуса равна $4\pi$ м².

высоту

Высота конуса $H$, радиус его основания $r$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + r^2$
Отсюда выразим высоту $H$: $H = \sqrt{L^2 - r^2}$
Подставим известные значения $L=6$ м и $r=2$ м: $H = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32}$ м.
Упростим корень: $H = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ м.
Ответ: Высота конуса равна $4\sqrt{2}$ м.