Номер 200, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

200. Отношение боковой и полной поверхностей конуса равно $\frac{1}{8}$. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, а длину его образующей — как $l$.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) является суммой площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$):

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$.

Согласно условию задачи, отношение боковой и полной поверхностей конуса равно $\frac{1}{8}$:

$\frac{S_{бок}}{S_{полн}} = \frac{\pi r l}{\pi r (l+r)} = \frac{l}{l+r}$

Приравняв это к $\frac{1}{8}$, получим:

$\frac{l}{l+r} = \frac{1}{8}$

$8l = l + r \implies r = 7l$

Данное соотношение является невозможным, так как в любом прямом круговом конусе образующая $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а радиус основания $r$ — катетом. Следовательно, всегда должно выполняться неравенство $l > r$.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и имелось в виду отношение площади основания к полной поверхности. В этом случае задача имеет корректное решение.

Предположим, что условие должно было звучать так: отношение площади основания и полной поверхности конуса равно $\frac{1}{8}$.

$\frac{S_{осн}}{S_{полн}} = \frac{\pi r^2}{\pi r (l+r)} = \frac{r}{l+r}$

Приравняем это отношение к $\frac{1}{8}$:

$\frac{r}{l+r} = \frac{1}{8} \implies 8r = l + r \implies l = 7r$

Это соотношение геометрически возможно. Теперь найдем искомый угол.

Угол между образующей и плоскостью основания конуса (обозначим его $\alpha$) — это угол между образующей $l$ (гипотенузой) и радиусом основания $r$ (прилежащим катетом) в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей конуса.

Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Подставим в эту формулу найденное соотношение $l = 7r$:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{7r} = \frac{1}{7}$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{7}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{7}\right)$