Номер 206, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

206*. Определите, на каком расстоянии от основания проходят две плоскости, параллельные плоскости основания и делящие боковую поверхность конуса на три равные части, учитывая, что высота конуса равна $H$.

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $S_{бок}$ — площадь его боковой поверхности.

Две плоскости, параллельные основанию, рассекают исходный конус. В результате образуются два меньших конуса с той же вершиной, что и у исходного. Пусть высоты этих меньших конусов, отсчитываемые от вершины, равны $h_1$ и $h_2$ (причем $h_1 < h_2$). Пусть площади их боковых поверхностей равны $S_1$ и $S_2$ соответственно.

Согласно условию задачи, две секущие плоскости делят боковую поверхность исходного конуса на три части с равными площадями. Это означает, что площадь боковой поверхности самого маленького конуса (с высотой $h_1$) составляет одну треть от общей площади боковой поверхности: $S_1 = \frac{1}{3}S_{бок}$. Площадь боковой поверхности среднего конуса (с высотой $h_2$) равна сумме площадей двух верхних частей, то есть $S_2 = \frac{1}{3}S_{бок} + \frac{1}{3}S_{бок} = \frac{2}{3}S_{бок}$.

Конусы, образованные сечениями, параллельными основанию, подобны исходному конусу. Отношение площадей боковых поверхностей подобных конусов равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их высот.

Сравнивая самый маленький конус (высота $h_1$, площадь боковой поверхности $S_1$) с исходным конусом (высота $H$, площадь боковой поверхности $S_{бок}$), получаем соотношение: $$ \frac{S_1}{S_{бок}} = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2 $$ Подставляя известное соотношение площадей $\frac{S_1}{S_{бок}} = \frac{1}{3}$, находим высоту $h_1$: $$ \left(\frac{h_1}{H}\right)^2 = \frac{1}{3} \implies \frac{h_1}{H} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies h_1 = \frac{H}{\sqrt{3}} = \frac{H\sqrt{3}}{3} $$

Аналогично, сравнивая средний конус (высота $h_2$, площадь боковой поверхности $S_2$) с исходным: $$ \frac{S_2}{S_{бок}} = \left(\frac{h_2}{H}\right)^2 $$ Подставляя $\frac{S_2}{S_{бок}} = \frac{2}{3}$, находим высоту $h_2$: $$ \left(\frac{h_2}{H}\right)^2 = \frac{2}{3} \implies \frac{h_2}{H} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \implies h_2 = H\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{H\sqrt{6}}{3} $$

Мы определили высоты отсеченных конусов, то есть расстояния от секущих плоскостей до вершины конуса. Задача требует найти расстояния от этих плоскостей до основания конуса. Эти расстояния вычисляются как разность между полной высотой конуса $H$ и высотами отсеченных конусов $h_1$ и $h_2$.

Расстояние от первой (более высокой) плоскости до основания конуса: $$ d_1 = H - h_1 = H - \frac{H\sqrt{3}}{3} = H\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = H\frac{3 - \sqrt{3}}{3} $$

Расстояние от второй (более низкой) плоскости до основания конуса: $$ d_2 = H - h_2 = H - \frac{H\sqrt{6}}{3} = H\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = H\frac{3 - \sqrt{6}}{3} $$

Ответ: Расстояния от основания до плоскостей равны $H\frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ и $H\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.