Номер 208, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

208. Есть конус с образующей 13 см и высотой 12 см, пересеченный прямой, параллельной основанию и отстоящей от основания на 6 см, а от высоты на 2 см (рис. 125). Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса.

Рис. 125

Для решения задачи сначала найдем радиус основания конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H = 12$ см, а боковая сторона — образующей конуса $L = 13$ см. Высота, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

$12^2 + R^2 = 13^2$

$144 + R^2 = 169$

$R^2 = 169 - 144 = 25$

$R = \sqrt{25} = 5$ см.

Прямая пересекает конус в плоскости, параллельной основанию. Эта плоскость находится на расстоянии 6 см от основания. Следовательно, сечение находится на высоте $h$ от вершины конуса:

$h = H - 6 = 12 - 6 = 6$ см.

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является кругом. Радиус этого круга $r$ можно найти из подобия треугольников в осевом сечении. Малый конус, отсекаемый плоскостью, подобен исходному конусу. Отношение радиусов их оснований равно отношению их высот:

$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$

$\frac{r}{5} = \frac{6}{12}$

$\frac{r}{5} = \frac{1}{2}$

$r = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$ см.

Отрезок искомой прямой, заключенный внутри конуса, является хордой в круге сечения радиусом $r = 2.5$ см. По условию, прямая отстоит от высоты конуса на 2 см. Это расстояние $d$ является расстоянием от центра круга сечения до хорды.

Рассмотрим круг сечения. Пусть длина хорды равна $x$. Радиус $r$, проведенный к концу хорды, расстояние от центра до хорды $d$ и половина хорды $(\frac{x}{2})$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$r^2 = d^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2$

$(2.5)^2 = 2^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2$

$6.25 = 4 + \left(\frac{x}{2}\right)^2$

$\left(\frac{x}{2}\right)^2 = 6.25 - 4 = 2.25$

$\frac{x}{2} = \sqrt{2.25} = 1.5$ см.

Тогда длина всей хорды равна:

$x = 2 \cdot 1.5 = 3$ см.

Ответ: 3 см.