Номер 214, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

214. Найдите:

а) объем V конуса, учитывая данные, приведенные на рис. 128;

На рис. 128: радиус основания $r = 3$, угол между высотой и образующей $30^\circ$.

Объем конуса $V = 9\pi\sqrt{3}$.

б) отношение объемов конусов, учитывая данные, приведенные на рис. 129.

На рис. 129: Для первого конуса: радиус $r$, высота $h$.

Для второго конуса: радиус $2r$, высота $2h$.

Отношение объемов конусов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{8}$.

Правообладатель Белорусская Энциклопедия имени Петруся Бровки

а) Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса. Из данных на рис. 128 мы знаем, что радиус основания конуса $r = 3$. Высоту $h$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, радиусом $r$ и образующей конуса. В этом треугольнике $h$ и $r$ являются катетами, а угол между высотой (прилежащий катет) и образующей (гипотенуза) равен $30^\circ$. Отношение противолежащего катета $r$ к прилежащему катету $h$ равно тангенсу угла между образующей и высотой: $\tan(30^\circ) = \frac{r}{h}$. Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, выразим высоту $h$: $h = \frac{r}{\tan(30^\circ)} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$. Теперь можем вычислить объем конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot (3\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi$.

Ответ: $9\sqrt{3}\pi$.

б) Найдем отношение объемов конусов, изображенных на рис. 129. Обозначим объем меньшего конуса как $V_1$, а объем большего конуса как $V_2$. Параметры меньшего конуса: радиус основания $r_1 = r$, высота $h_1 = h$. Его объем равен: $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Параметры большего конуса: радиус основания $r_2 = 2r$, высота $h_2 = 2h$. Его объем равен: $V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 (2h) = \frac{1}{3} \pi (4r^2)(2h) = \frac{8}{3} \pi r^2 h$. Теперь найдем отношение объема меньшего конуса к объему большего: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\frac{8}{3} \pi r^2 h}$. После сокращения общих множителей ($\frac{1}{3}, \pi, r^2, h$) получаем: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{8}$. Следовательно, отношение объемов конусов составляет $1:8$.

Ответ: $1:8$.