Номер 212, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

212. Докажите, что:

а) боковая поверхность конуса равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным высоте равнобедренного треугольника, основанием которого является образующая, а вершина лежит на оси конуса (рис. 126);

Рис. 126

б) боковая поверхность усеченного конуса равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным высоте равнобедренного треугольника, основанием которого является образующая, а вершина лежит на оси конуса (рис. 127).

Рис. 127

а)

Обозначим параметры конуса (рис. 126): $R$ – радиус основания ($OA$), $L$ – образующая ($PA$), $H$ – высота ($PO$). Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{кон} = \pi R L$.

Согласно условию, у цилиндра высота $H_{цил}$ равна высоте конуса $H$, а радиус основания $R_{цил}$ равен высоте $h_{\triangle}$ равнобедренного треугольника, основанием которого является образующая конуса ($PA=L$), а вершина ($D$) лежит на оси конуса ($PO$). Площадь боковой поверхности этого цилиндра: $S_{цил} = 2 \pi R_{цил} H_{цил} = 2 \pi h_{\triangle} H$.

Нам необходимо доказать, что $S_{кон} = S_{цил}$, то есть: $\pi R L = 2 \pi h_{\triangle} H \iff R L = 2 h_{\triangle} H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и связанный с ним равнобедренный треугольник $PDA$. Высота этого треугольника $h_{\triangle}$ – это перпендикуляр, опущенный из вершины $D$ на основание $PA$. Обозначим его $DC$, где $C$ – точка на $PA$. Таким образом, $h_{\triangle} = DC$ и $\triangle DCP$ – прямоугольный.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AOP$ (прямоугольный в точке $O$) и $\triangle DCP$ (прямоугольный в точке $C$). У этих треугольников есть общий острый угол $\angle APO = \angle DPC$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам: $\triangle AOP \sim \triangle DCP$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AO}{DC} = \frac{OP}{CP} = \frac{AP}{DP}$

Возьмем первую часть пропорции: $\frac{AO}{DC} = \frac{OP}{CP}$. Отсюда получаем $AO \cdot CP = OP \cdot DC$. В равнобедренном треугольнике $PDA$ высота $DC$, проведенная к основанию $PA$, является также и медианой. Следовательно, точка $C$ – середина отрезка $PA$, и $CP = \frac{PA}{2} = \frac{L}{2}$.

Подставим известные величины в равенство: $R \cdot \frac{L}{2} = H \cdot h_{\triangle}$

Умножив обе части на 2, получаем: $R L = 2 H h_{\triangle}$

Теперь умножим обе части на $\pi$: $\pi R L = 2 \pi H h_{\triangle}$

Это означает, что $S_{кон} = S_{цил}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Обозначим параметры усеченного конуса (рис. 127): $R$ – радиус нижнего основания, $r$ – радиус верхнего основания, $L$ – образующая, $H$ – высота. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{ус.кон} = \pi(R+r)L$.

По условию, у цилиндра высота $H_{цил}$ равна высоте усеченного конуса $H$, а радиус основания $R_{цил}$ равен высоте $h_{C}$ равнобедренного треугольника, основанием которого является образующая усеченного конуса $L$, а вершина $C$ лежит на его оси. Площадь боковой поверхности этого цилиндра: $S_{цил} = 2 \pi R_{цил} H_{цил} = 2 \pi h_{C} H$.

Нам необходимо доказать, что $S_{ус.кон} = S_{цил}$, то есть: $\pi(R+r)L = 2 \pi h_{C} H \iff (R+r)L = 2h_{C}H$.

Для доказательства этого равенства найдем выражение для $h_C$ через параметры усеченного конуса. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса – равнобокую трапецию. Введем систему координат: центр нижнего основания $O$ поместим в начало координат $(0,0)$, а ось $Oy$ направим вдоль оси конуса. Тогда координаты концов образующей будут $A(R, 0)$ и $A_1(r, H)$. Длина образующей $L = AA_1 = \sqrt{(R-r)^2+H^2}$.

Вершина $C$ равнобедренного треугольника $ACA_1$ лежит на оси $Oy$, ее координаты $C(0, y_C)$. Условие равнобедренности $CA = CA_1$ в квадратах длин выглядит как $CA^2 = CA_1^2$: $(R-0)^2 + (0-y_C)^2 = (r-0)^2 + (H-y_C)^2$ $R^2 + y_C^2 = r^2 + H^2 - 2Hy_C + y_C^2$ $2Hy_C = H^2 + r^2 - R^2 \implies y_C = \frac{H^2 + r^2 - R^2}{2H}$.

Высота $h_C$ – это расстояние от точки $C(0, y_C)$ до прямой, содержащей образующую $AA_1$. Уравнение этой прямой: $H(x-R) - (r-R)y = 0$, или $Hx + (R-r)y - HR = 0$. По формуле расстояния от точки до прямой: $h_C = \frac{|H \cdot 0 + (R-r)y_C - HR|}{\sqrt{H^2 + (R-r)^2}} = \frac{|(R-r)y_C - HR|}{L}$.

Подставим выражение для $y_C$ в числитель: $|(R-r)y_C - HR| = |(R-r)\frac{H^2 + r^2 - R^2}{2H} - HR| = |\frac{(R-r)(H^2 + r^2 - R^2) - 2H^2R}{2H}|$. Преобразуем выражение внутри модуля: $\frac{RH^2 + Rr^2 - R^3 - rH^2 - r^3 + rR^2 - 2H^2R}{2H} = \frac{-RH^2 - rH^2 - R^3 - r^3 + Rr^2 + rR^2}{2H}$ $= \frac{-H^2(R+r) - (R^3+r^3) + Rr(R+r)}{2H} = \frac{-H^2(R+r) - (R+r)(R^2-Rr+r^2) + Rr(R+r)}{2H}$ $= \frac{-(R+r) [H^2 + (R^2-Rr+r^2) - Rr]}{2H} = \frac{-(R+r) [H^2 + (R-r)^2]}{2H}$. Так как $L^2 = H^2 + (R-r)^2$, получаем $\frac{-(R+r)L^2}{2H}$.

Тогда $h_C = \frac{|\frac{-(R+r)L^2}{2H}|}{L} = \frac{(R+r)L^2}{2HL} = \frac{(R+r)L}{2H}$.

Мы получили тождество $h_C = \frac{(R+r)L}{2H}$, которое равносильно равенству, которое мы хотели доказать: $2h_C H = (R+r)L$.

Умножая обе части на $\pi$, получаем: $2\pi h_C H = \pi(R+r)L$.

Это означает, что $S_{цил} = S_{ус.кон}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.