Номер 216, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

216. Пусть $h$, $r$ и $V$ — соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите:

а) $V$, учитывая, что $h = 12$ см, $r = 6$ см;

б) $h$, учитывая, что $r = 4$ см, $V = 48\pi$ см$^3$;

в) $r$, учитывая, что $h = m$, $V = p$.

Основная формула для объема конуса, которая связывает высоту $h$, радиус основания $r$ и объем $V$:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

а) Найдите $V$, учитывая, что $h = 12$ см, $r = 6$ см;

Для нахождения объема конуса $V$ подставим данные значения высоты и радиуса в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 12 \text{ см}$

Выполним вычисления:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см} = \pi \cdot (\frac{36}{3}) \cdot 12 \text{ см}^3 = \pi \cdot 12 \cdot 12 \text{ см}^3 = 144\pi \text{ см}^3$

Ответ: $V = 144\pi \text{ см}^3$.

б) Найдите $h$, учитывая, что $r = 4$ см, $V = 48\pi \text{ см}^3$;

Чтобы найти высоту $h$, выразим ее из формулы объема:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \implies 3V = \pi r^2 h \implies h = \frac{3V}{\pi r^2}$

Теперь подставим известные значения объема и радиуса:

$h = \frac{3 \cdot 48\pi \text{ см}^3}{\pi \cdot (4 \text{ см})^2} = \frac{144\pi \text{ см}^3}{\pi \cdot 16 \text{ см}^2}$

Сократим $\pi$ и числа:

$h = \frac{144}{16} \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: $h = 9 \text{ см}$.

в) Найдите $r$, учитывая, что $h = m, V = p$.

Чтобы найти радиус $r$, выразим его из формулы объема. Сначала выразим $r^2$:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \implies 3V = \pi r^2 h \implies r^2 = \frac{3V}{\pi h}$

Теперь извлечем квадратный корень. Так как радиус является длиной, мы берем только положительное значение корня:

$r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$

Подставим заданные буквенные значения $h = m$ и $V = p$:

$r = \sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$

Ответ: $r = \sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$.