Номер 197, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

197. Определите угол развертки боковой поверхности конуса, у которого:

а) наибольший угол между образующими является прямым;

б) образующая составляет с плоскостью основания угол в $30^{\circ}$;

в) радиус основания которого равен $r$, а образующая — $l$.

а) Угол развертки боковой поверхности конуса, $\alpha$, вычисляется по формуле $\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.
Наибольший угол между образующими — это угол при вершине в осевом сечении конуса. Осевое сечение является равнобедренным треугольником, у которого боковые стороны равны образующей $l$, а основание — диаметру $2r$. По условию, угол между боковыми сторонами равен $90^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. Этот треугольник является половиной осевого сечения. Угол при вершине в этом треугольнике равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Отношение радиуса к образующей находится из этого треугольника: $\sin(45^\circ) = \frac{r}{l}$.
Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\frac{r}{l} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь найдем угол развертки:
$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 180\sqrt{2}^\circ$.
Ответ: $180\sqrt{2}^\circ$.

б) Угол, который образующая составляет с плоскостью основания, — это угол между образующей $l$ и радиусом основания $r$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом и образующей. По условию, этот угол равен $30^\circ$.
В этом прямоугольном треугольнике отношение радиуса $r$ к образующей $l$ (гипотенузе) равно косинусу этого угла: $\frac{r}{l} = \cos(30^\circ)$.
Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\frac{r}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это значение в формулу для угла развертки $\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}$:
$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 180\sqrt{3}^\circ$.
Ответ: $180\sqrt{3}^\circ$.

в) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$. Длина дуги этого сектора должна быть равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.
Длина дуги сектора с центральным углом $\alpha$ (в градусах) и радиусом $l$ определяется как $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$.
Приравниваем длину дуги сектора и длину окружности основания: $L = C$, то есть $\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l = 2\pi r$.
Сократив $2\pi$ в обеих частях уравнения, получаем: $\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot l = r$.
Выразим отсюда искомый угол развертки $\alpha$:
$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}$.
Эта формула выражает угол развертки через радиус основания $r$ и образующую $l$.
Ответ: $\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}$.