Номер 192, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

192. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$.

Найдите площадь основания конуса, учитывая, что:

а) $\alpha = 30^{\circ}$;

б) $\alpha = 45^{\circ}$;

в) $\alpha = 60^{\circ}$.

Пусть $L$ — образующая конуса, $R$ — радиус его основания, а $H$ — высота. По условию задачи, длина образующей $L = 12$ см.

Образующая $L$, радиус основания $R$ и высота конуса $H$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ является гипотенузой, а $R$ и $H$ — катетами. Угол $\alpha$, который образующая составляет с плоскостью основания, является углом между образующей $L$ и радиусом $R$ в этом треугольнике.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, мы можем найти радиус основания: $ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{R}{L} $

Отсюда радиус $R$ равен: $ R = L \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(\alpha) $

Площадь основания конуса, которое представляет собой круг, вычисляется по формуле: $ S_{осн} = \pi R^2 $

Подставив выражение для $R$, получим общую формулу для площади основания в данной задаче: $ S_{осн} = \pi (12 \cdot \cos(\alpha))^2 = 144\pi \cos^2(\alpha) $ см$^2$.

Теперь вычислим площадь для каждого конкретного значения угла $\alpha$.

а) $\alpha = 30^{\circ}$

Найдем радиус основания при $\alpha = 30^{\circ}$: $ R = 12 \cdot \cos(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

Вычислим площадь основания: $ S_{осн} = \pi R^2 = \pi (6\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (36 \cdot 3) = 108\pi $ см$^2$.

Ответ: $108\pi$ см$^2$.

б) $\alpha = 45^{\circ}$

Найдем радиус основания при $\alpha = 45^{\circ}$: $ R = 12 \cdot \cos(45^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} $ см.

Вычислим площадь основания: $ S_{осн} = \pi R^2 = \pi (6\sqrt{2})^2 = \pi \cdot (36 \cdot 2) = 72\pi $ см$^2$.

Ответ: $72\pi$ см$^2$.

в) $\alpha = 60^{\circ}$

Найдем радиус основания при $\alpha = 60^{\circ}$: $ R = 12 \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

Вычислим площадь основания: $ S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi $ см$^2$.

Ответ: $36\pi$ см$^2$.