Номер 13, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Сформулируйте свойство касательной плоскости конуса.

Касательная плоскость к конусу — это плоскость, которая проходит через образующую конуса и не имеет с конусом других общих точек, кроме точек этой образующей.

Свойство касательной плоскости конуса заключается в следующем: плоскость, касательная к конусу, проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости осевого сечения, содержащего эту образующую.

Доказательство. Рассмотрим прямой круговой конус с вершиной в точке $S$ и центром основания в точке $O$. Пусть $\alpha$ — это плоскость, касательная к конусу по образующей $SM$, где $M$ — точка на окружности основания.

Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость основания по прямой $a$, которая является касательной к окружности основания в точке $M$. Таким образом, плоскость $\alpha$ определяется образующей $SM$ и касательной $a$.

Осевое сечение конуса, проходящее через образующую $SM$, содержит также ось конуса $SO$ и радиус основания $OM$. Обозначим плоскость этого осевого сечения как $\beta$.

Наша задача — доказать, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$, то есть $\alpha \perp \beta$.

1. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OM$ перпендикулярен прямой $a$ ($OM \perp a$).

2. По определению прямого кругового конуса, его ось $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Это значит, что ось $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе и прямой $a$ ($SO \perp a$).

3. Прямые $OM$ и $SO$ лежат в плоскости осевого сечения $\beta$ и пересекаются в точке $O$.

4. Поскольку прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($OM$ и $SO$) плоскости $\beta$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

5. Касательная плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей (если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны), плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$.

Таким образом, свойство доказано.

Ответ: Касательная плоскость к конусу проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости осевого сечения, которое содержит эту образующую.