Номер 9, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Сформулируйте свойства сечения конуса плоскостью, параллельной основанию.

При пересечении конуса плоскостью, параллельной его основанию, образуется сечение, которое обладает следующими ключевыми свойствами.

Форма сечения и подобие

Сечение представляет собой круг. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Вершина у нового конуса та же, а его основанием является круг, полученный в сечении.

Соотношение линейных размеров

Поскольку отсеченный конус подобен исходному, их соответствующие линейные элементы пропорциональны. В частности, отношение радиуса сечения $r$ к радиусу основания исходного конуса $R$ равно отношению высоты отсеченного конуса $h$ (которая является расстоянием от вершины до секущей плоскости) к высоте исходного конуса $H$. Это можно записать в виде формулы: $$ \frac{r}{R} = \frac{h}{H} $$

Соотношение площадей

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Площадь сечения ($S_{сеч} = \pi r^2$) и площадь основания ($S_{осн} = \pi R^2$) связаны следующим соотношением: $$ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 $$ Используя соотношение для линейных размеров из предыдущего пункта, получаем: $$ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2 $$ Это означает, что площадь сечения, параллельного основанию, относится к площади основания как квадрат расстояния от вершины до сечения относится к квадрату высоты конуса.

Ответ: Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, обладает следующими свойствами: 1) сечение является кругом; 2) сечение отсекает конус, подобный исходному; 3) отношение радиуса сечения $r$ к радиусу основания $R$ равно отношению их высот $h$ и $H$ от вершины ($ \frac{r}{R} = \frac{h}{H} $); 4) отношение площади сечения $S_{сеч}$ к площади основания $S_{осн}$ равно квадрату отношения высот ($ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2 $).