Номер 5, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Чему равна боковая поверхность конуса?

Боковая поверхность конуса — это площадь его криволинейной (изогнутой) части, без учета площади его основания. Чтобы найти эту площадь, используется формула, которая связывает радиус основания и образующую конуса.

Для наглядного понимания формулы можно представить развертку боковой поверхности конуса. Если "развернуть" боковую поверхность, получится плоская фигура — круговой сектор. Параметры этого сектора напрямую связаны с параметрами конуса:

• Радиус этого кругового сектора равен длине образующей конуса, которую принято обозначать буквой $l$.
• Длина дуги этого сектора равна длине окружности, которая является основанием конуса. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус основания конуса.

Площадь кругового сектора находится по формуле: $S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot R_{s}$, где $L$ — длина дуги сектора, а $R_{s}$ — его радиус.

Теперь подставим в эту формулу параметры, соответствующие развертке конуса. Площадь боковой поверхности конуса ($S_{\text{бок}}$) будет равна площади этого сектора. У нас $R_{s} = l$ и $L = 2\pi r$. Получаем:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (2\pi r) \cdot l$

Сократив множитель 2, мы приходим к окончательной формуле для вычисления площади боковой поверхности конуса:

$S_{\text{бок}} = \pi r l$

В этой формуле:

• $S_{\text{бок}}$ — площадь боковой поверхности конуса;
• $r$ — радиус основания конуса;
• $l$ — длина образующей конуса.

Стоит также отметить, что образующая ($l$), радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$) связаны между собой через теорему Пифагора, поскольку они формируют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$. Это позволяет найти площадь боковой поверхности, даже если известны только высота и радиус.

Ответ: Боковая поверхность конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания $r$ и длины образующей $l$. Формула: $S_{\text{бок}} = \pi r l$.