Номер 189, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

189*. Найдите объем частей пирамиды, на которые она рассечена плоскостью, параллельной основанию, учитывая, что:

а) это основание и полученное сечение являются равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузами $m$ и $n$, две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны основанию, а третья составляет с ней угол $\phi$;

б) пирамида правильная четырехугольная, стороны основания и полученного сечения равны $a$ и $\frac{a}{2}$, а апофема — $a$.

а)

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ и гипотенузой $AB=m$. Катеты этого треугольника равны $AC = BC = \frac{m}{\sqrt{2}}$. Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{\sqrt{2}} \cdot \frac{m}{\sqrt{2}} = \frac{m^2}{4}$.

По условию, две боковые грани, содержащие катеты ($SAC$ и $SBC$), перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что их общее ребро $SC$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту $H = SC$.

Третья боковая грань $SAB$ составляет с плоскостью основания угол $\phi$. Угол между плоскостями измеряется как угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения $AB$. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту (она же медиана) $CD$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, медиана к гипотенузе равна ее половине: $CD = \frac{AB}{2} = \frac{m}{2}$. Проведем в грани $SAB$ высоту $SD$ к стороне $AB$ (так как $SA=SB$, то $SD$ также является медианой). Угол $\angle SDC$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SAB$ и основанием, то есть $\angle SDC = \phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SCD$ (угол $\angle SCD = 90^\circ$). Из него находим высоту пирамиды $H$:
$H = SC = CD \cdot \tan(\angle SDC) = \frac{m}{2} \tan\phi$.

Теперь можем найти объем исходной пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{m^2}{4} \cdot \frac{m}{2} \tan\phi = \frac{m^3 \tan\phi}{24}$.

Секущая плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды подобную ей меньшую пирамиду. Основанием этой меньшей пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $n$.

Коэффициент подобия пирамид $k$ равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, гипотенуз оснований:
$k = \frac{n}{m}$.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Таким образом, объем меньшей (верхней) пирамиды $V_{верх}$ равен:

$V_{верх} = V \cdot k^3 = \frac{m^3 \tan\phi}{24} \cdot (\frac{n}{m})^3 = \frac{m^3 \tan\phi}{24} \cdot \frac{n^3}{m^3} = \frac{n^3 \tan\phi}{24}$.

Объем нижней части (усеченной пирамиды) $V_{нижн}$ равен разности объемов исходной и верхней пирамид:

$V_{нижн} = V - V_{верх} = \frac{m^3 \tan\phi}{24} - \frac{n^3 \tan\phi}{24} = \frac{(m^3 - n^3) \tan\phi}{24}$.

Ответ: объемы частей пирамиды равны $\frac{n^3 \tan\phi}{24}$ (верхняя часть) и $\frac{(m^3 - n^3) \tan\phi}{24}$ (нижняя часть).

б)

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Площадь основания $S_{осн} = a^2$.

Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна $a$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда апофема $SM = a$.

Высота правильной пирамиды $H$ опускается в центр основания $O$. В прямоугольном треугольнике $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$) катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора находим высоту пирамиды $H = SO$:

$H = \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Объем исходной пирамиды $V$ равен:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

Секущая плоскость, параллельная основанию, отсекает от пирамиды подобную ей меньшую пирамиду. Сторона основания этой меньшей пирамиды равна $\frac{a}{2}$.

Коэффициент подобия пирамид $k$ равен отношению сторон их оснований:

$k = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.

Объем меньшей (верхней) пирамиды $V_{верх}$ равен:

$V_{верх} = V \cdot k^3 = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{a^3\sqrt{3}}{6 \cdot 8} = \frac{a^3\sqrt{3}}{48}$.

Объем нижней части (усеченной пирамиды) $V_{нижн}$ равен разности объемов исходной и верхней пирамид:

$V_{нижн} = V - V_{верх} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} - \frac{a^3\sqrt{3}}{48} = \frac{8a^3\sqrt{3} - a^3\sqrt{3}}{48} = \frac{7a^3\sqrt{3}}{48}$.

Ответ: объемы частей пирамиды равны $\frac{a^3\sqrt{3}}{48}$ (верхняя часть) и $\frac{7a^3\sqrt{3}}{48}$ (нижняя часть).