Номер 184, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

184. Пирамида $PEFGH$ имеет своим основанием ромб $EFGH$. На ее ребрах $PE$, $PF$ и $PG$ точки $X$, $Y$ и $Z$ выбраны так, что $PX : XE = 3 : 2$, $PY : YF = 1 : 1$ и $PZ : ZG = 4 : 3$. Найдите отношение, в котором плоскость $XYZ$ делит объем пирамиды.

Пусть $V$ - объем пирамиды $PEFGH$. Основание пирамиды - ромб $EFGH$. Диагональ $EG$ делит ромб на два равных треугольника $EFG$ и $EHG$. Следовательно, пирамиду $PEFGH$ можно разбить на две тетраэдра $P-EFG$ и $P-EHG$ с равными объемами:$V_{P-EFG} = V_{P-EHG} = \frac{V}{2}$.

Плоскость $XYZ$ отсекает от пирамиды многогранник, вершина которого совпадает с вершиной $P$. Найдем объем $V_{верх}$ этой отсеченной части. Эта часть является пирамидой $P-XYZW$, где $W$ - точка пересечения секущей плоскости с ребром $PH$. Объем этой пирамиды можно найти как сумму объемов двух тетраэдров: $P-XYZ$ и $P-XWZ$.

Сначала найдем отношения, в которых точки $X, Y, Z$ делят ребра пирамиды, выходящие из вершины $P$:Из условия $PX : XE = 3 : 2$, следует $\frac{PX}{PE} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$. Из условия $PY : YF = 1 : 1$, следует $\frac{PY}{PF} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$. Из условия $PZ : ZG = 4 : 3$, следует $\frac{PZ}{PG} = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$.

Объем тетраэдра $P-XYZ$ относится к объему тетраэдра $P-EFG$ как произведение отношений длин ребер, выходящих из общей вершины $P$:$\frac{V_{P-XYZ}}{V_{P-EFG}} = \frac{PX}{PE} \cdot \frac{PY}{PF} \cdot \frac{PZ}{PG} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{12}{70} = \frac{6}{35}$. Таким образом, $V_{P-XYZ} = \frac{6}{35} V_{P-EFG} = \frac{6}{35} \cdot \frac{V}{2} = \frac{3V}{35}$.

Теперь найдем точку $W$ пересечения плоскости $XYZ$ с ребром $PH$. Для этого используем векторный метод. Примем точку $P$ за начало координат. Пусть $\vec{PE} = \vec{e}$, $\vec{PF} = \vec{f}$, $\vec{PG} = \vec{g}$, $\vec{PH} = \vec{h}$. Поскольку $EFGH$ - ромб (а значит, и параллелограмм), выполняется векторное равенство $\vec{PE} + \vec{PG} = \vec{PF} + \vec{PH}$, откуда $\vec{h} = \vec{e} - \vec{f} + \vec{g}$. Точки $X, Y, Z, W$ лежат в одной плоскости. Точка $W$ лежит на ребре $PH$, поэтому $\vec{PW} = k \cdot \vec{PH} = k\vec{h}$ для некоторого $k$. Условие компланарности точек $X, Y, Z, W$ можно записать как $\vec{XW} = \alpha \vec{XY} + \beta \vec{XZ}$ для некоторых скаляров $\alpha$ и $\beta$. Распишем это в вектораз из начала координат: $\vec{PW} - \vec{PX} = \alpha(\vec{PY} - \vec{PX}) + \beta(\vec{PZ} - \vec{PX})$, что эквивалентно $\vec{PW} = (1-\alpha-\beta)\vec{PX} + \alpha\vec{PY} + \beta\vec{PZ}$. Подставим выражения для векторов:$k\vec{h} = (1-\alpha-\beta)\frac{3}{5}\vec{e} + \alpha\frac{1}{2}\vec{f} + \beta\frac{4}{7}\vec{g}$. Заменим $\vec{h}$ на $\vec{e} - \vec{f} + \vec{g}$:$k(\vec{e} - \vec{f} + \vec{g}) = \frac{3(1-\alpha-\beta)}{5}\vec{e} + \frac{\alpha}{2}\vec{f} + \frac{4\beta}{7}\vec{g}$. Поскольку векторы $\vec{e}, \vec{f}, \vec{g}$ не компланарны (образуют тетраэдр), приравняем коэффициенты при них:$\begin{cases}k = \frac{3(1-\alpha-\beta)}{5} \\-k = \frac{\alpha}{2} \\k = \frac{4\beta}{7}\end{cases}$Из второго и третьего уравнений выражаем $\alpha = -2k$ и $\beta = \frac{7k}{4}$. Подставим $\alpha$ и $\beta$ в первое уравнение:$k = \frac{3(1 - (-2k) - \frac{7k}{4})}{5}$$5k = 3(1 + 2k - \frac{7k}{4})$$5k = 3 + 6k - \frac{21k}{4}$$k - \frac{21k}{4} = -3$$\frac{4k - 21k}{4} = -3$$-\frac{17k}{4} = -3$$17k = 12 \implies k = \frac{12}{17}$. Итак, $\frac{PW}{PH} = \frac{12}{17}$.

Теперь найдем объем тетраэдра $P-XWZ$. Он отсекается от тетраэдра $P-EHG$ плоскостью $XWZ$.$\frac{V_{P-XWZ}}{V_{P-EHG}} = \frac{PX}{PE} \cdot \frac{PZ}{PG} \cdot \frac{PW}{PH} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{12}{17} = \frac{144}{595}$. Таким образом, $V_{P-XWZ} = \frac{144}{595} V_{P-EHG} = \frac{144}{595} \cdot \frac{V}{2} = \frac{72V}{595}$.

Полный объем верхней (отсеченной) части $V_{верх}$ равен сумме объемов тетраэдров $P-XYZ$ и $P-XWZ$:$V_{верх} = V_{P-XYZ} + V_{P-XWZ} = \frac{3V}{35} + \frac{72V}{595}$. Приведем дроби к общему знаменателю $595 = 35 \cdot 17$:$V_{верх} = \frac{3 \cdot 17 \cdot V}{35 \cdot 17} + \frac{72V}{595} = \frac{51V}{595} + \frac{72V}{595} = \frac{(51+72)V}{595} = \frac{123V}{595}$.

Объем оставшейся нижней части $V_{низ}$ равен:$V_{низ} = V - V_{верх} = V - \frac{123V}{595} = \frac{595V - 123V}{595} = \frac{472V}{595}$.

Искомое отношение объемов, в котором плоскость $XYZ$ делит пирамиду, равно:$\frac{V_{верх}}{V_{низ}} = \frac{123V/595}{472V/595} = \frac{123}{472}$. Числа 123 ($123=3 \cdot 41$) и 472 ($472=8 \cdot 59$) взаимно простые, поэтому дробь несократима.

Ответ: $123 : 472$.