Номер 179, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

179. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 24 дм и 10 дм, а каждое боковое ребро равно 85 дм. Пирамида пересечена плоскостью, которая параллельна плоскости основания и делит боковое ребро пополам. Найдите объем полученной усеченной пирамиды.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника в основании как $a = 24$ дм и $b = 10$ дм, а боковое ребро как $l = 85$ дм.

1. Найдем площадь основания исходной пирамиды ($S_1$)

Основанием является прямоугольный треугольник, его площадь равна половине произведения катетов:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120$ дм².

2. Найдем высоту исходной пирамиды ($H$)

Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ дм.

Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ дм.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. Найдем $H$ по теореме Пифагора:

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{85^2 - 13^2} = \sqrt{(85-13)(85+13)} = \sqrt{72 \cdot 98} = \sqrt{7056} = 84$ дм.

3. Найдем объем исходной пирамиды ($V_1$)

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V_1 = \frac{1}{3} S_1 H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 84 = 40 \cdot 84 = 3360$ дм³.

4. Найдем объем усеченной пирамиды

Секущая плоскость параллельна основанию и делит боковое ребро пополам. Это означает, что она отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих ребер (или высот) малой и большой пирамид. По условию, $k = \frac{1}{2}$.

Объем отсеченной (малой) пирамиды $V_2$ относится к объему исходной пирамиды $V_1$ как куб коэффициента подобия:

$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Тогда объем малой пирамиды равен:

$V_2 = \frac{1}{8} V_1 = \frac{1}{8} \cdot 3360 = 420$ дм³.

Объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$ равен разности объемов исходной и отсеченной пирамид:

$V_{усеч} = V_1 - V_2 = 3360 - 420 = 2940$ дм³.

Ответ: 2940 дм³.