Номер 177, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

177. Одна из сторон основания треугольной пирамиды равна 16 см, противолежащее ей боковое ребро — 18 см, каждое из остальных четырех ребер — 17 см. Найдите объем пирамиды.

Для решения задачи найдем объем пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Обозначим вершины пирамиды как S (вершина) и A, B, C (основание). Согласно условию, одна из сторон основания равна 16 см, пусть $AB = 16$ см. Противолежащее ей боковое ребро $SC = 18$ см. Остальные четыре ребра равны по 17 см, то есть стороны основания $AC = BC = 17$ см и боковые ребра $SA = SB = 17$ см.

Сначала вычислим площадь основания. Основание — это равнобедренный треугольник ABC со сторонами 17, 17 и 16 см. Проведем высоту CM к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота CM является также и медианой, поэтому $AM = MB = \frac{16}{2} = 8$ см. Из прямоугольного треугольника AMC по теореме Пифагора найдем высоту CM:$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ равна:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$ см².

Теперь найдем высоту пирамиды H. Пусть SO — высота пирамиды, опущенная из вершины S на плоскость основания ABC. Точка O — основание высоты. Так как боковые ребра $SA = SB = 17$ см, их проекции на плоскость основания также равны: $OA = OB$. Это означает, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. В плоскости основания таким перпендикуляром является прямая, содержащая высоту (и медиану) CM. Следовательно, точка O лежит на прямой CM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$ и $\triangle SOC$. Из $\triangle SOA$: $SO^2 = SA^2 - OA^2$. Из $\triangle SOC$: $SO^2 = SC^2 - OC^2$. Высота $H = SO$. Приравняем правые части:$SA^2 - OA^2 = SC^2 - OC^2$. В прямоугольном треугольнике OMA (он прямоугольный, так как $O \in CM$ и $CM \perp AB$) имеем $OA^2 = OM^2 + AM^2$. Пусть $OM = x$. Тогда $OC = CM - OM = 15 - x$ (предполагая, что O лежит между C и M). Подставим известные значения в уравнение:$17^2 - (x^2 + 8^2) = 18^2 - (15 - x)^2$$289 - (x^2 + 64) = 324 - (225 - 30x + x^2)$$225 - x^2 = 324 - 225 + 30x - x^2$$225 = 99 + 30x$$30x = 225 - 99$$126 = 30x$$x = \frac{126}{30} = 4.2$ см.

Зная $x=OM$, найдем квадрат высоты $H^2$:$H^2 = SA^2 - OA^2 = 17^2 - (x^2 + 8^2) = 289 - ((4.2)^2 + 64) = 289 - (17.64 + 64) = 289 - 81.64 = 207.36$.$H = \sqrt{207.36} = 14.4$ см.

Наконец, вычислим объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 14.4 = 40 \cdot 14.4 = 576$ см³.

Ответ: $576$ см³.