Номер 170, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

170. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой:

а) высота равна 15 см, а сторона основания — 12 см;

б) боковое ребро равно $b$ и составляет с плоскостью основания угол $\alpha$;

в) боковое ребро $b$ и составляет с прилежащей стороной основания угол $\alpha$;

г) боковое ребро равно $l$ и составляет с плоскостью основания угол $\phi$;

д) радиус окружности, описанной около боковой грани, равен $R$, а плоский угол при вершине основания — $\alpha$;

е) боковое ребро равно $l$, а плоский угол при вершине — $\beta$;

ж) плоский угол при вершине равен $\phi$, а сторона основания — $a$.

Общая формула для объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. В правильной треугольной пирамиде основанием является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

а) высота равна 15 см, а сторона основания — 12 см;

Дано: высота $H = 15$ см, сторона основания $a = 12$ см.

1. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

2. Найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 15 = 180\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $180\sqrt{3}$ см³.

б) боковое ребро равно b и составляет с плоскостью основания угол α;

1. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на основание. Проекцией бокового ребра является радиус $R$ описанной окружности основания. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $b$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $b$ — гипотенуза, а $\alpha$ — угол между $b$ и $R$.

2. Из этого треугольника находим высоту $H$ и радиус $R$:

$H = b \sin\alpha$

$R = b \cos\alpha$

3. Зная радиус описанной окружности $R$, найдем сторону основания $a$:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \implies a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = R\sqrt{3} = b\sqrt{3}\cos\alpha$.

4. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(b\sqrt{3}\cos\alpha)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3b^2\cos^2\alpha \sqrt{3}}{4}$.

5. Найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}b^2\cos^2\alpha}{4} \cdot b\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} b^3 \cos^2\alpha \sin\alpha$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} b^3 \cos^2\alpha \sin\alpha$.

в) боковое ребро b и составляет с прилежащей стороной основания угол α;

1. Рассмотрим боковую грань. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b$ (боковые ребра пирамиды) и основанием $a$ (сторона основания пирамиды). Углы при основании этого треугольника равны $\alpha$.

2. По теореме синусов для боковой грани: $\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{b}{\sin\alpha}$. Отсюда $a = \frac{b \sin(2\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{b \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2b\cos\alpha$.

3. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2b\cos\alpha)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4b^2\cos^2\alpha\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}b^2\cos^2\alpha$.

4. Найдем высоту пирамиды $H$. Используем формулу $H^2 = b^2 - R^2$, где $R$ — радиус описанной окружности основания.$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{2b\cos\alpha\sqrt{3}}{3}$.$H^2 = b^2 - \left(\frac{2b\cos\alpha\sqrt{3}}{3}\right)^2 = b^2 - \frac{12b^2\cos^2\alpha}{9} = b^2\left(1 - \frac{4}{3}\cos^2\alpha\right) = \frac{b^2(3 - 4\cos^2\alpha)}{3}$.$H = b\sqrt{\frac{3-4\cos^2\alpha}{3}}$.

5. Найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{3}b^2\cos^2\alpha) \cdot \left(b\sqrt{\frac{3-4\cos^2\alpha}{3}}\right) = \frac{b^3\cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}}{3}$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}b^3\cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}$.

г) боковое ребро равно l и составляет с плоскостью основания угол φ;

Эта задача аналогична задаче (б) с заменой $b$ на $l$ и $\alpha$ на $\phi$.

1. Находим высоту $H$ и радиус описанной окружности основания $R$:

$H = l \sin\phi$

$R = l \cos\phi$

2. Находим сторону основания $a$:

$a = R\sqrt{3} = l\sqrt{3}\cos\phi$.

3. Находим площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(l\sqrt{3}\cos\phi)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3l^2\cos^2\phi \sqrt{3}}{4}$.

4. Находим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}l^2\cos^2\phi}{4} \cdot l\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{4} l^3 \cos^2\phi \sin\phi$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} l^3 \cos^2\phi \sin\phi$.

д) радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R, а плоский угол при вершине основания — α;

1. Рассмотрим боковую грань. Это равнобедренный треугольник со стороной основания $a$, боковыми сторонами (ребрами пирамиды) $b$ и углами при основании $\alpha$. Радиус описанной около него окружности равен $R$.

2. По обобщенной теореме синусов для боковой грани: $\frac{b}{\sin\alpha} = 2R$, откуда $b = 2R\sin\alpha$.$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = 2R$, откуда $a = 2R\sin(2\alpha) = 4R\sin\alpha\cos\alpha$.

3. Находим площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4R\sin\alpha\cos\alpha)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16R^2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}R^2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

4. Находим высоту пирамиды $H$. $H^2 = b^2 - R_{осн}^2$.$R_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{4R\sin\alpha\cos\alpha\sqrt{3}}{3}$.$H^2 = (2R\sin\alpha)^2 - \left(\frac{4R\sin\alpha\cos\alpha\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 4R^2\sin^2\alpha - \frac{16R^2\sin^2\alpha\cos^2\alpha \cdot 3}{9} = 4R^2\sin^2\alpha\left(1 - \frac{4}{3}\cos^2\alpha\right)$.$H = 2R\sin\alpha\sqrt{1 - \frac{4}{3}\cos^2\alpha} = 2R\sin\alpha \sqrt{\frac{3 - 4\cos^2\alpha}{3}}$.

5. Находим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} (4\sqrt{3}R^2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) \left(2R\sin\alpha \frac{\sqrt{3 - 4\cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}\right) = \frac{8}{3}R^3\sin^3\alpha\cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}$.

Ответ: $V = \frac{8}{3}R^3\sin^3\alpha\cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}$.

е) боковое ребро равно l, а плоский угол при вершине — β;

1. Плоский угол при вершине — это угол $\beta$ между боковыми ребрами в боковой грани. Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и углом $\beta$ между ними.

2. Найдем сторону основания $a$ по теореме косинусов:

$a^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cos\beta = 2l^2(1-\cos\beta) = 4l^2\sin^2(\beta/2)$.$a = 2l\sin(\beta/2)$.

3. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4l^2\sin^2(\beta/2))\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}l^2\sin^2(\beta/2)$.

4. Найдем высоту пирамиды $H$. $H^2 = l^2 - R^2$.$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{2l\sin(\beta/2)\sqrt{3}}{3}$.$H^2 = l^2 - \left(\frac{2l\sin(\beta/2)\sqrt{3}}{3}\right)^2 = l^2 - \frac{4l^2\sin^2(\beta/2) \cdot 3}{9} = l^2\left(1-\frac{4}{3}\sin^2(\beta/2)\right) = \frac{l^2(3-4\sin^2(\beta/2))}{3}$.$H = l\sqrt{\frac{3-4\sin^2(\beta/2)}{3}}$.

5. Найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} (\sqrt{3}l^2\sin^2(\beta/2)) \left(l\sqrt{\frac{3-4\sin^2(\beta/2)}{3}}\right) = \frac{1}{3}l^3\sin^2(\beta/2)\sqrt{3-4\sin^2(\beta/2)}$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}l^3\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)\sqrt{3-4\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}$.

ж) плоский угол при вершине равен φ, а сторона основания — a.

1. Дана сторона основания $a$, поэтому площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

2. Найдем длину бокового ребра $l$. Как и в задаче (е), из боковой грани имеем $a = 2l\sin(\phi/2)$, откуда $l = \frac{a}{2\sin(\phi/2)}$.

3. Найдем высоту пирамиды $H$. $H^2 = l^2 - R^2$.$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.$H^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\phi/2)}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\phi/2)} - \frac{a^2}{3} = a^2\left(\frac{1}{4\sin^2(\phi/2)} - \frac{1}{3}\right) = a^2\frac{3-4\sin^2(\phi/2)}{12\sin^2(\phi/2)}$.$H = a\sqrt{\frac{3-4\sin^2(\phi/2)}{12\sin^2(\phi/2)}} = \frac{a\sqrt{3-4\sin^2(\phi/2)}}{2\sqrt{3}\sin(\phi/2)}$.

4. Найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3-4\sin^2(\phi/2)}}{2\sqrt{3}\sin(\phi/2)} = \frac{a^3\sqrt{3-4\sin^2(\phi/2)}}{24\sin(\phi/2)}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3-4\sin^2(\phi/2)}}{24\sin(\phi/2)}$.