Номер 163, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

163. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 5 м и 8 м, а высота — 3 м. Плоскость проходит через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Пусть дана правильная усеченная треугольная пирамида $ABC A_1B_1C_1$, где $ABC$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ — верхнее. Стороны оснований — равносторонние треугольники.

По условию задачи:

• Сторона нижнего основания $a = AC = 8$ м.
• Сторона верхнего основания $b = A_1C_1 = 5$ м.
• Высота усеченной пирамиды $H = 3$ м.

Плоскость сечения проходит через сторону нижнего основания, например $AC$, и противолежащую вершину верхнего основания $B_1$. Сечением является треугольник $AB_1C$.

Найдите площадь сечения

Треугольник $AB_1C$ является равнобедренным, так как боковые ребра $AB_1$ и $CB_1$ равны из-за симметрии правильной усеченной пирамиды. Основание этого треугольника — сторона $AC = 8$ м.

Площадь треугольника $AB_1C$ можно найти по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot B_1M$, где $M$ — середина стороны $AC$, а $B_1M$ — высота сечения.

Для нахождения высоты $B_1M$ рассмотрим вид сверху и вертикальное сечение пирамиды. Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. $OO_1 = H = 3$ м — высота пирамиды. $M$ — середина $AC$. $BM$ — медиана и высота треугольника $ABC$. $B_1M_1$ — медиана и высота треугольника $A_1B_1C_1$, где $M_1$ — середина $A_1C_1$.

Найдем длину отрезка $OM$. $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$, поэтому $OM$ — это радиус вписанной окружности. Высота нижнего основания $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ м. Тогда $OM = \frac{1}{3}BM = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ м.

Теперь спроецируем вершину $B_1$ на плоскость нижнего основания. Пусть проекцией будет точка $K$. Так как пирамида правильная, точка $K$ будет лежать на отрезке $OB$. Длина отрезка $B_1K$ равна высоте пирамиды, $B_1K = H = 3$ м. Расстояние $OK$ равно расстоянию от центра верхнего основания $O_1$ до вершины $B_1$, то есть радиусу описанной окружности верхнего основания: $OK = R_{верх} = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ м.

Точки $K$, $O$, $M$ лежат на одной прямой. Расстояние $KM$ равно сумме длин отрезков $KO$ и $OM$:
$KM = KO + OM = \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1KM$ (угол $K$ прямой). Гипотенуза $B_1M$ является высотой сечения. По теореме Пифагора:
$B_1M^2 = B_1K^2 + KM^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$ м$^2$.
$B_1M = \sqrt{36} = 6$ м.

Теперь можем вычислить площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot B_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ м$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $24$ м$^2$.

Найдите двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания

Двугранный угол между плоскостью сечения $AB_1C$ и плоскостью нижнего основания $ABC$ — это линейный угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения $AC$.

В плоскости основания $ABC$ перпендикуляром к $AC$ является медиана (и высота) $BM$.
В плоскости сечения $AB_1C$ перпендикуляром к $AC$ является медиана (и высота) $B_1M$.
Следовательно, искомый двугранный угол $\alpha$ равен углу между отрезками $B_1M$ и $BM$.

Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $B_1KM$, который мы рассмотрели ранее. Угол $\alpha$ — это угол $\angle B_1MK$, так как $KM$ лежит на прямой $BM$.

В треугольнике $B_1KM$:

• Катет, противолежащий углу $\alpha$ (высота пирамиды): $B_1K = 3$ м.
• Катет, прилежащий к углу $\alpha$ (проекция высоты сечения на основание): $KM = 3\sqrt{3}$ м.
• Гипотенуза (высота сечения): $B_1M = 6$ м.

Найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{KM}{B_1M} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда находим угол:
$\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^{\circ}$.

Ответ: Двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $30^{\circ}$.