Номер 158, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

158. Сечение пирамиды, параллельное ее основанию, делит высоту в отношении $2 : 3$, если считать от вершины. Найдите площадь сечения, учитывая, что она на $105 \text{ см}^2$ меньше площади основания.

Пусть $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $S_{сеч}$ — площадь сечения. Пусть $H$ — полная высота пирамиды, а $h$ — высота отсеченной сечением пирамиды (от вершины до плоскости сечения).

По условию задачи, сечение делит высоту в отношении 2:3, считая от вершины. Это означает, что высота отсеченной пирамиды $h$ и оставшаяся часть высоты $(H-h)$ относятся как 2:3. Тогда полная высота $H$ состоит из $2+3=5$ условных частей, а высота отсеченной пирамиды $h$ — из 2 таких же частей.

Сечение, параллельное основанию, отсекает малую пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот:$k = \frac{h}{H} = \frac{2}{5}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, отношение площади сечения к площади основания равно:$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$.

Из этого соотношения можно выразить площадь сечения через площадь основания: $S_{сеч} = \frac{4}{25}S_{осн}$. В то же время, по условию задачи, площадь сечения на 105 см² меньше площади основания: $S_{сеч} = S_{осн} - 105$.

Приравняем правые части этих двух уравнений и решим полученное уравнение относительно $S_{осн}$:$\frac{4}{25}S_{осн} = S_{осн} - 105$$105 = S_{осн} - \frac{4}{25}S_{осн}$$105 = S_{осн}\left(1 - \frac{4}{25}\right)$$105 = S_{осн}\left(\frac{21}{25}\right)$$S_{осн} = \frac{105 \cdot 25}{21} = 5 \cdot 25 = 125 \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания ($125 \text{ см}^2$), найдем искомую площадь сечения:$S_{сеч} = S_{осн} - 105 = 125 - 105 = 20 \text{ см}^2$.

Ответ: 20 см².