Номер 156, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

156. Докажите, что если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

а) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;

б) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;

в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Пусть дана n-угольная пирамида $SA_1A_2...A_n$ с вершиной $S$ и основанием $A_1A_2...A_n$. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания $\alpha$. Рассмотрим секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости основания $\alpha$. Плоскость $\beta$ пересекает боковые ребра $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ в точках $B_1, B_2, ..., B_n$ соответственно, а высоту $SO$ — в точке $O_1$.

а) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части
Рассмотрим любое боковое ребро $SA_i$ и высоту $SO$. Они образуют плоскость треугольника $\triangle SOA_i$. Так как секущая плоскость $\beta$ параллельна плоскости основания $\alpha$, то линия пересечения плоскости $\triangle SOA_i$ с плоскостью $\beta$ (это прямая $B_iO_1$) будет параллельна линии пересечения плоскости $\triangle SOA_i$ с плоскостью $\alpha$ (это прямая $A_iO$). Итак, $B_iO_1 \parallel A_iO$. Рассмотрим $\triangle SOA_i$. Поскольку $B_iO_1 \parallel A_iO$, то по теореме о подобных треугольниках (или по обобщенной теореме Фалеса), треугольник $\triangle SO_1B_i$ подобен треугольнику $\triangle SOA_i$. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{SO_1}{SO} = \frac{SB_i}{SA_i} = \frac{O_1B_i}{OA_i} $$ Поскольку мы выбрали произвольное боковое ребро $SA_i$, это соотношение верно для всех боковых ребер пирамиды. Таким образом, получаем: $$ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \dots = \frac{SB_n}{SA_n} = \frac{SO_1}{SO} $$ Это доказывает, что боковые ребра и высота разделяются секущей плоскостью на пропорциональные части.
Ответ: Доказано, что боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части, причем отношение отрезков от вершины до секущей плоскости к отрезкам от вершины до основания одинаково для всех ребер и высоты.

б) в сечении получится многоугольник, подобный основанию
Сечением является многоугольник $B_1B_2...B_n$, а основанием — многоугольник $A_1A_2...A_n$. Чтобы доказать их подобие, нужно установить два факта: пропорциональность соответствующих сторон и равенство соответствующих углов.
1. Пропорциональность сторон. Рассмотрим боковую грань $\triangle SA_iA_{i+1}$. Плоскость $\beta$ пересекает эту грань по отрезку $B_iB_{i+1}$. Так как $\beta \parallel \alpha$, то $B_iB_{i+1} \parallel A_iA_{i+1}$. Следовательно, $\triangle SB_iB_{i+1}$ подобен $\triangle SA_iA_{i+1}$. Из подобия следует: $$ \frac{B_iB_{i+1}}{A_iA_{i+1}} = \frac{SB_i}{SA_i} $$ Из пункта а) мы знаем, что отношение $\frac{SB_i}{SA_i}$ постоянно для всех ребер и равно $k = \frac{SO_1}{SO}$. Значит, $\frac{B_iB_{i+1}}{A_iA_{i+1}} = k$ для всех сторон многоугольников. Все соответствующие стороны пропорциональны с одним и тем же коэффициентом $k$.
2. Равенство углов. Рассмотрим угол $\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$ в основании и соответствующий ему угол $\angle B_iB_{i+1}B_{i+2}$ в сечении. Как мы уже показали, $A_iA_{i+1} \parallel B_iB_{i+1}$. Аналогично, рассматривая грань $\triangle SA_{i+1}A_{i+2}$, доказываем, что $A_{i+1}A_{i+2} \parallel B_{i+1}B_{i+2}$. Таким образом, стороны угла $\angle B_iB_{i+1}B_{i+2}$ соответственно параллельны и сонаправлены сторонам угла $\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$. Следовательно, эти углы равны: $\angle B_iB_{i+1}B_{i+2} = \angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$. Это справедливо для всех соответствующих углов многоугольников.
Поскольку все соответствующие стороны многоугольников $B_1B_2...B_n$ и $A_1A_2...A_n$ пропорциональны, а все соответствующие углы равны, эти многоугольники подобны.
Ответ: Доказано, что в сечении получается многоугольник, подобный основанию.

в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды
Пусть $S_{сеч}$ — площадь сечения $B_1B_2...B_n$, а $S_{осн}$ — площадь основания $A_1A_2...A_n$. Известно, что отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента их подобия. В пункте б) мы доказали, что многоугольник сечения подобен многоугольнику основания. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответствующих сторон: $$ k = \frac{B_iB_{i+1}}{A_iA_{i+1}} $$ Следовательно, отношение их площадей равно: $$ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 $$ В пункте а) мы установили, что этот коэффициент подобия равен отношению расстояний от вершины до плоскости сечения и до плоскости основания: $$ k = \frac{SB_i}{SA_i} = \frac{SO_1}{SO} $$ Здесь $SO_1$ — расстояние от вершины $S$ до плоскости сечения $\beta$, а $SO$ — расстояние от вершины $S$ до плоскости основания $\alpha$ (высота пирамиды). Подставив это выражение для $k$ в формулу для отношения площадей, получим: $$ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{SO_1}{SO}\right)^2 $$ Это и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.