Номер 151, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

151. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 24 см, 20 см и 20 см, а каждая боковая грань наклонена к основанию под углом в $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ можно найти через площадь ее основания $S_{осн}$ и угол $\alpha$ наклона боковых граней к основанию. Если все боковые грани наклонены к основанию под одним и тем же углом $\alpha$, то площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$В данной задаче основанием является треугольник со сторонами $24$ см, $20$ см и $20$ см, а угол наклона каждой боковой грани равен $45^\circ$.

Сначала найдем площадь основания пирамиды. Основание — это равнобедренный треугольник со сторонами $a = 24$ см, $b = 20$ см и $c = 20$ см. Проведем высоту $h$ к основанию этого треугольника (к стороне длиной $24$ см). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по $12$ см. Получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой $20$ см и одним из катетов $12$ см. Найдем второй катет, который является высотой $h$, по теореме Пифагора:$h = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см. Теперь можем вычислить площадь треугольника-основания:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 12 \cdot 16 = 192$ см$^2$.

Теперь, зная площадь основания и угол наклона боковых граней, можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Угол наклона $\alpha = 45^\circ$. Значение косинуса этого угла: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем известные значения в формулу:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha} = \frac{192}{\cos 45^\circ} = \frac{192}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{192 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{384}{\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$S_{бок} = \frac{384 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{384\sqrt{2}}{2} = 192\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $192\sqrt{2}$ см$^2$.