Номер 147, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

147. Прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза $AB$ и катет $AC$ которого соответственно равны 29 см и 21 см, является основанием пирамиды $DABC$. Ее ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды $DABC$ состоит из трех треугольников: $\triangle DAC$, $\triangle DAB$ и $\triangle DBC$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих треугольников:

$S_{бок} = S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DBC}$

1. Найдем недостающие стороны и площади треугольников.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB = 29$ см и катетом $AC = 21$ см. Найдем второй катет $BC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$

$BC = \sqrt{400} = 20$ см.

2. Рассмотрим грань $DAC$.

По условию, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $DA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$. Таким образом, $\triangle DAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Его площадь равна:

$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 10 \cdot 21 = 210$ см².

3. Рассмотрим грань $DAB$.

Аналогично, так как $DA \perp (ABC)$, то $DA \perp AB$. Значит, $\triangle DAB$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Его площадь равна:

$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 10 \cdot 29 = 290$ см².

4. Рассмотрим грань $DBC$.

Для нахождения площади этой грани воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

$DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$.
$DC$ — наклонная к плоскости $ABC$.
$AC$ — проекция наклонной $DC$ на плоскость $ABC$.
Так как в основании лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, то $AC \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($DC$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $DC \perp BC$, и $\triangle DBC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Для вычисления его площади найдем длину катета $DC$. $DC$ является гипотенузой в прямоугольном $\triangle DAC$. По теореме Пифагора:

$DC^2 = DA^2 + AC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$

$DC = \sqrt{841} = 29$ см.

Теперь можем найти площадь $\triangle DBC$:

$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 10 \cdot 29 = 290$ см².

5. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Сложим площади боковых граней:

$S_{бок} = S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DBC} = 210 + 290 + 290 = 790$ см².

Ответ: 790 см².