Номер 146, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

146. Найдите высоту пирамиды, стороны основания которой равны 13, 14 и 15, учитывая, что:

a) все боковые ребра составляют с основанием углы, равные $\alpha$;

б) все боковые грани составляют с основанием углы, равные $\beta$.

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами $a = 13$, $b = 14$ и $c = 15$. Для решения задачи нам понадобятся площадь $S$ и полупериметр $p$ этого треугольника.

Найдем полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Для вычисления площади воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$.

Разложим подкоренное выражение на простые множители для удобства вычисления:

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$.

Итак, площадь основания пирамиды равна 84.

а) все боковые ребра составляют с основанием углы, равные α

Пусть $H$ — высота пирамиды. Если все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\alpha$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Из этого треугольника следует соотношение: $H = R \cdot \tan(\alpha)$.

Найдем радиус описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, используя ранее вычисленную площадь $S=84$:

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336}$.

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{13 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 15}{4 \cdot (6 \cdot 7)} = \frac{13 \cdot 2 \cdot 15}{4 \cdot 6} = \frac{13 \cdot 30}{24} = \frac{13 \cdot 5}{4} = \frac{65}{8}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = R \cdot \tan(\alpha) = \frac{65}{8} \tan(\alpha)$.

Ответ: $H = \frac{65}{8} \tan(\alpha)$.

б) все боковые грани составляют с основанием углы, равные β

Если все боковые грани (двугранные углы при основании) наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема (высота боковой грани) образуют прямоугольный треугольник. Из него следует соотношение: $H = r \cdot \tan(\beta)$.

Найдем радиус вписанной окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, используя ранее вычисленные площадь $S=84$ и полупериметр $p=21$:

$r = \frac{84}{21} = 4$.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(\beta) = 4 \tan(\beta)$.

Ответ: $H = 4 \tan(\beta)$.