Номер 140, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

140. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 20 см. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 24 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Обозначим гипотенузу этого треугольника как $c$, а высоту пирамиды как $H$. Из условия задачи нам известно, что $c = 20$ см и $H = 24$ см. Также в условии сказано, что все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Существует свойство пирамиды, согласно которому, если все ее боковые ребра равны, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около многоугольника в основании.

В нашем случае основанием является прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы.

Следовательно, основание высоты пирамиды лежит на середине гипотенузы базового треугольника. Расстояние от этого центра до любой из вершин треугольника равно радиусу $R$ описанной окружности. Этот радиус равен половине длины гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро пирамиды $l$. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами, а боковое ребро $l$ — гипотенузой.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину бокового ребра $l$:
$l^2 = H^2 + R^2$
Подставим известные значения:
$l^2 = 24^2 + 10^2$
$l^2 = 576 + 100$
$l^2 = 676$
$l = \sqrt{676}$
$l = 26$ см.
Ответ: 26 см.