Номер 137, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

137. Есть пирамида, у которой двугранные углы при основании равны друг другу. Верно ли, что:

а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание;

б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны;

в) боковая поверхность равна произведению полупериметра основания и высоты боковой грани, проведенной из вершины пирамиды?

Для ответа на поставленные вопросы проанализируем свойства пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны. Пусть дана пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$, где $S$ - вершина, а $A_1 A_2 \dots A_n$ - многоугольник в основании. Пусть $SO$ - высота пирамиды, где $O$ - основание высоты, лежащее в плоскости основания.

а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание;

Рассмотрим двугранный угол при одном из рёбер основания, например, при ребре $A_i A_{i+1}$. Для измерения этого угла построим его линейный угол. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OK_i$ к стороне $A_i A_{i+1}$. Тогда отрезок $OK_i$ является проекцией наклонной $SK_i$ на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $SO \perp (A_1 A_2 \dots A_n)$ и $OK_i \perp A_i A_{i+1}$, то и наклонная $SK_i \perp A_i A_{i+1}$. Следовательно, угол $\angle SK_i O$ является линейным углом двугранного угла при ребре $A_i A_{i+1}$. По условию, все двугранные углы при основании равны. Обозначим их величину через $\alpha$. Значит, все их линейные углы также равны: $\angle SK_1 O = \angle SK_2 O = \dots = \angle SK_n O = \alpha$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SK_1 O, \triangle SK_2 O, \dots, \triangle SK_n O$. У них общий катет $SO$ (высота пирамиды) и равные острые углы $\angle SK_i O = \alpha$. Следовательно, все эти треугольники равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $OK_1 = OK_2 = \dots = OK_n$. Отрезки $OK_i$ - это расстояния от точки $O$ до сторон многоугольника, лежащего в основании. Так как точка $O$ равноудалена от всех сторон основания, она является центром окружности, вписанной в этот многоугольник. Таким образом, основание высоты пирамиды совпадает с центром вписанной в основание окружности.

Ответ: Верно.

б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны;

Как было показано в пункте а), прямоугольные треугольники $\triangle SK_1 O, \triangle SK_2 O, \dots, \triangle SK_n O$ равны. Отрезки $SK_1, SK_2, \dots, SK_n$ являются гипотенузами этих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $SK_1 = SK_2 = \dots = SK_n$. Каждый из этих отрезков, $SK_i$, является высотой боковой грани $S A_i A_{i+1}$, проведённой из вершины пирамиды $S$ к стороне основания (такие высоты также называют апофемами пирамиды). Следовательно, высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны между собой.

Ответ: Верно.

в) боковая поверхность равна произведению полупериметра основания и высоты боковой грани, проведенной из вершины пирамиды?

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей её боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SA_1A_2} + S_{\triangle SA_2A_3} + \dots + S_{\triangle SA_nA_1}$. Площадь каждой боковой грани вычисляется по формуле: $S_{\triangle SA_iA_{i+1}} = \frac{1}{2} \cdot A_i A_{i+1} \cdot h_i$, где $h_i$ - высота грани, проведённая из вершины $S$. Из пункта б) мы знаем, что все эти высоты равны. Обозначим эту единую для всех граней высоту (апофему) как $h_{бок}$. Тогда $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot A_1 A_2 \cdot h_{бок} + \frac{1}{2} \cdot A_2 A_3 \cdot h_{бок} + \dots + \frac{1}{2} \cdot A_n A_1 \cdot h_{бок}$. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}h_{бок}$ за скобки: $S_{бок} = \frac{1}{2}h_{бок} (A_1 A_2 + A_2 A_3 + \dots + A_n A_1)$. Выражение в скобках является периметром основания пирамиды, $P_{осн}$. Таким образом, $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_{бок}$. Полупериметр основания $p_{осн}$ равен половине периметра: $p_{осн} = \frac{1}{2}P_{осн}$. Подставив это в формулу, получаем: $S_{бок} = p_{осн} \cdot h_{бок}$. Это и означает, что боковая поверхность равна произведению полупериметра основания и высоты боковой грани (апофемы).

Ответ: Верно.