Номер 130, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

130. Есть правильная пирамида. Можно ли утверждать, что она имеет плоскость симметрии?

Да, можно утверждать, что любая правильная пирамида имеет плоскость симметрии. Приведем развернутое доказательство этого утверждения.

По определению, правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. Пусть $S$ — вершина правильной $n$-угольной пирамиды, а $A_1A_2...A_n$ — ее основание, которое является правильным $n$-угольником. Пусть $O$ — центр основания. Тогда отрезок $SO$ является высотой пирамиды, т.е. $SO \perp (A_1A_2...A_n)$.

Плоскость симметрии фигуры — это такая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга.

Любой правильный $n$-угольник при $n \ge 3$ имеет по крайней мере одну ось симметрии. Более того, у него их ровно $n$. Каждая ось симметрии правильного многоугольника проходит через его центр.

Рассмотрим одну из осей симметрии $l$ многоугольника $A_1A_2...A_n$ в основании пирамиды. Проведем через эту ось $l$ и вершину пирамиды $S$ плоскость $\alpha$. Так как ось симметрии $l$ проходит через центр основания $O$, а вершина $S$ проецируется в точку $O$, то высота пирамиды $SO$ также лежит в построенной плоскости $\alpha$.

Докажем, что плоскость $\alpha$ является плоскостью симметрии для всей пирамиды.

При осевой симметрии относительно прямой $l$ в плоскости основания, основание $A_1A_2...A_n$ переходит в себя. Это означает, что для любой точки $P$ на многоугольнике $A_1A_2...A_n$ ее симметричная точка $P'$ относительно прямой $l$ также будет лежать на этом многоугольнике.

При симметрии относительно плоскости $\alpha$:

1. Любая точка, лежащая в самой плоскости $\alpha$ (например, вершина $S$ или любая точка на высоте $SO$), отображается на саму себя.
2. Любая точка $P$ основания пирамиды отображается в точку $P'$, симметричную ей относительно прямой $l = \alpha \cap (A_1A_2...A_n)$. Как мы уже отметили, $P'$ также принадлежит основанию. Таким образом, основание пирамиды симметрично относительно плоскости $\alpha$.
3. Рассмотрим произвольную точку $M$ на боковой поверхности пирамиды. Пусть $M$ лежит на боковом ребре $SA_k$. При симметрии относительно плоскости $\alpha$, точка $S$ переходит в себя, а вершина основания $A_k$ переходит в некоторую вершину $A_m$, симметричную ей относительно оси $l$. Следовательно, отрезок $SA_k$ (боковое ребро) переходит в отрезок $SA_m$, который также является боковым ребром пирамиды. Значит, точка $M$ перейдет в точку $M'$ на ребре $SA_m$. Аналогично, любая точка на боковой грани перейдет в точку на симметричной ей боковой грани.

Таким образом, при симметрии относительно плоскости $\alpha$ каждая точка пирамиды переходит в точку той же пирамиды. Это означает, что плоскость $\alpha$ является плоскостью симметрии.

Поскольку у любого правильного $n$-угольника (при $n \ge 3$) всегда есть ось симметрии, то у любой правильной пирамиды всегда можно построить такую плоскость симметрии.

Ответ: Да.