Номер 19, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

19. Какие тела называют равновеликими?

Равновеликие тела — это пространственные геометрические тела (трёхмерные фигуры), которые имеют одинаковые объёмы.

Данный термин подчёркивает, что форма тел не имеет значения для их сравнения по этому признаку. Два тела могут быть совершенно не похожи друг на друга, но если их объёмы равны, они называются равновеликими. Например, куб может быть равновелик шару, а призма — пирамиде.

Математически это означает, что если объём тела $T_1$ равен $V_1$, а объём тела $T_2$ равен $V_2$, то тела $T_1$ и $T_2$ равновелики, если выполняется равенство: $V_1 = V_2$.

Пример:

Рассмотрим куб с ребром $a = 5$ см. Его объём $V_{куб}$ вычисляется по формуле $V_{куб} = a^3$. Для данного куба объём составит $V_{куб} = 5^3 = 125 \text{ см}^3$.

Теперь рассмотрим шар с радиусом $r$. Его объём $V_{шар}$ определяется формулой $V_{шар} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Чтобы этот шар был равновелик нашему кубу, их объёмы должны быть равны: $V_{шар} = V_{куб}$. Это даёт нам уравнение: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 125$.

Выразим из него $r^3$: $r^3 = \frac{125 \cdot 3}{4\pi} = \frac{375}{4\pi}$.

Тогда радиус шара будет равен $r = \sqrt[3]{\frac{375}{4\pi}} \approx \sqrt[3]{29.84} \approx 3.1$ см.

Следовательно, куб с ребром 5 см и шар с радиусом около 3.1 см являются равновеликими телами.

Следует также упомянуть, что для плоских фигур (двумерных) существует аналогичное понятие — равновеликие фигуры. Это фигуры, имеющие равные площади. Например, квадрат со стороной 6 см (площадь $S = 6^2 = 36 \text{ см}^2$) и круг радиусом $r = \sqrt{36/\pi} \approx 3.38$ см (площадь $S = \pi r^2 \approx \pi \cdot (3.38)^2 \approx 36 \text{ см}^2$) являются равновеликими фигурами.

Ответ: Равновеликими называют тела, которые имеют равные (одинаковые) объёмы.