Номер 14, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. Сформулируйте свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, обладает рядом фундаментальных свойств, которые вытекают из следующей теоремы.

Теорема: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части, а в сечении образуется многоугольник, подобный основанию.

Рассмотрим эти свойства и их следствия более подробно.

1. Пропорциональность отрезков

Пусть пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$ и высотой $H=SO$ пересечена плоскостью $\alpha$, параллельной основанию. Плоскость $\alpha$ пересекает боковые рёбра $SA_1, SA_2, \dots$ в точках $B_1, B_2, \dots$ и высоту $SO$ в точке $O_1$.

Секущая плоскость делит боковые рёбра и высоту пирамиды в одном и том же отношении. Это означает, что справедливо равенство: $$ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \dots = \frac{SB_n}{SA_n} = \frac{SO_1}{SO} $$ где $SO_1 = h$ – высота малой (отсечённой) пирамиды, а $SO = H$ – высота исходной пирамиды.

Доказательство: Рассмотрим боковую грань $SA_1A_2$. Поскольку плоскость сечения $\alpha$ параллельна плоскости основания, то их линии пересечения с плоскостью грани $SA_1A_2$ параллельны, то есть $B_1B_2 \parallel A_1A_2$. По теореме о подобных треугольниках, $\triangle SB_1B_2 \sim \triangle SA_1A_2$. Из подобия следует: $\frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2}$. Проводя аналогичные рассуждения для всех боковых граней, доказываем равенство отношений для всех боковых рёбер. Далее, рассмотрим плоскость, содержащую высоту $SO$ и ребро $SA_1$. Эта плоскость пересекает основание по прямой $OA_1$, а секущую плоскость по прямой $O_1B_1$. Так как $\alpha$ параллельна основанию, то $O_1B_1 \parallel OA_1$. Следовательно, $\triangle SO_1B_1 \sim \triangle SOA_1$, откуда $\frac{SO_1}{SO} = \frac{SB_1}{SA_1}$. Объединяя все отношения, получаем искомое равенство.

Ответ: Боковые рёбра и высота пирамиды делятся секущей плоскостью, параллельной основанию, на пропорциональные отрезки.

2. Подобие сечения и основания

Многоугольник $B_1 B_2 \dots B_n$, являющийся сечением, подобен многоугольнику основания $A_1 A_2 \dots A_n$.

Доказательство: Из подобия треугольников боковых граней (см. пункт 1) следует, что стороны сечения и основания пропорциональны: $$ \frac{B_1 B_2}{A_1 A_2} = \frac{SB_1}{SA_1} $$ Аналогично для других сторон: $$ \frac{B_2 B_3}{A_2 A_3} = \frac{SB_2}{SA_2} $$ Поскольку все отношения $\frac{SB_i}{SA_i}$ равны одному и тому же числу $k = \frac{h}{H}$ (из свойства 1), то все стороны сечения пропорциональны соответствующим сторонам основания с одним и тем же коэффициентом $k$: $$ \frac{B_1 B_2}{A_1 A_2} = \frac{B_2 B_3}{A_2 A_3} = \dots = k $$ Кроме того, углы этих многоугольников соответственно равны. Например, стороны $B_1B_2$ и $B_2B_3$ угла $\angle B_1 B_2 B_3$ соответственно параллельны и сонаправлены сторонам $A_1A_2$ и $A_2A_3$ угла $\angle A_1 A_2 A_3$. Следовательно, $\angle B_1 B_2 B_3 = \angle A_1 A_2 A_3$. Поскольку у многоугольников сечения и основания соответственные стороны пропорциональны, а углы между ними равны, эти многоугольники подобны.

Ответ: Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, представляет собой многоугольник, подобный основанию.

3. Отношение площадей

Площади сечения ($S_{сеч}$) и основания ($S_{осн}$) относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды. $$ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2 $$ где $h$ и $H$ — высоты отсеченной и исходной пирамид соответственно.

Доказательство: Это свойство является прямым следствием подобия сечения и основания. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Как было установлено в пунктах 1 и 2, коэффициент подобия многоугольника сечения и многоугольника основания равен $k = \frac{h}{H}$. Следовательно, $$ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{h}{H}\right)^2 $$

Ответ: Отношение площади сечения к площади основания равно квадрату отношения их высот, отсчитываемых от вершины пирамиды.