Номер 9, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Сформулируйте свойства элементов правильной пирамиды:

боковых ребер

боковых граней

апофем

двугранных углов при основании

двугранных углов при боковых ребрах

точек высоты

Свойства боковых ребер

В правильной пирамиде все боковые ребра равны между собой по длине. Это следует из того, что высота пирамиды проецируется в центр основания, который равноудален от всех вершин основания. Если $H$ — высота пирамиды, а $R$ — радиус окружности, описанной около основания, то длина бокового ребра $l$ находится по теореме Пифагора: $l = \sqrt{H^2 + R^2}$. Так как $H$ и $R$ являются постоянными для данной пирамиды, все боковые ребра $l$ имеют одинаковую длину.
Также все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\alpha$. Этот угол можно найти из соотношения $\sin \alpha = \frac{H}{l}$ или $\cos \alpha = \frac{R}{l}$.

Ответ: все боковые ребра равны по длине и образуют равные углы с плоскостью основания.

Свойства боковых граней

Все боковые грани правильной пирамиды — это равные между собой равнобедренные треугольники. Боковыми сторонами этих треугольников являются равные боковые ребра пирамиды, а основаниями — стороны правильного многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Так как все стороны основания равны и все боковые ребра равны, то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) все боковые грани равны. Следовательно, площади всех боковых граней также равны.

Ответ: все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Свойства апофем

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания. Так как все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками, то и их высоты, проведенные к основаниям (апофемы), равны между собой. Длину апофемы $a$ можно найти через высоту пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ (который является апофемой основания) по теореме Пифагора: $a = \sqrt{H^2 + r^2}$.

Ответ: все апофемы правильной пирамиды равны между собой.

Свойства двугранных углов при основании

Двугранные углы при основании — это углы между боковыми гранями и плоскостью основания. В правильной пирамиде все эти углы равны. Линейной мерой такого угла является угол $\beta$ между апофемой пирамиды $a$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$. Его можно найти из соотношения $\cos \beta = \frac{r}{a}$ или $\tan \beta = \frac{H}{r}$. Так как для всех граней $H$, $r$ и $a$ одинаковы, то и углы $\beta$ равны.

Ответ: все двугранные углы при ребрах основания равны между собой.

Свойства двугранных углов при боковых ребрах

Двугранные углы при боковых ребрах — это углы между смежными боковыми гранями. Вследствие симметрии правильной пирамиды (равенства боковых ребер и боковых граней) все эти двугранные углы равны между собой.

Ответ: все двугранные углы при боковых ребрах равны между собой.

Свойства точек высоты

Высота правильной пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания. Основание высоты совпадает с центром правильного многоугольника, лежащего в основании пирамиды (центром вписанной и описанной окружностей).
Основные свойства:

• Высота является осью симметрии правильной пирамиды.
• Любая точка, принадлежащая высоте, равноудалена от всех вершин основания.
• Любая точка, принадлежащая высоте, равноудалена от всех сторон основания (т.е. от прямых, содержащих стороны основания).
• Любая точка, принадлежащая высоте, равноудалена от всех боковых ребер.
• Любая точка, принадлежащая высоте, равноудалена от всех боковых граней.

Ответ: основание высоты совпадает с центром основания пирамиды; любая точка высоты равноудалена от всех вершин основания, всех боковых ребер и всех боковых граней.