Номер 12, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

пирамиды!

12. Как связаны между собой боковая поверхность правильной пирамиды, периметр ее основания и апофема?

Боковая поверхность правильной пирамиды, периметр её основания и апофема связаны между собой через формулу площади. Чтобы вывести эту зависимость, рассмотрим определение и свойства правильной пирамиды.

Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник (например, равносторонний треугольник, квадрат и т.д.), а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. Важным следствием этого определения является то, что все боковые грани правильной пирамиды — это равные между собой равнобедренные треугольники.

Апофема правильной пирамиды (обозначим её $h_a$) — это высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания.

Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) вычисляется по формуле: $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — это длина стороны основания пирамиды (которая является основанием треугольника), а $h_a$ — это апофема (которая является высотой этого треугольника).

Боковая поверхность пирамиды ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех её боковых граней. Если в основании пирамиды лежит правильный n-угольник, то у пирамиды $n$ одинаковых боковых граней. Тогда площадь всей боковой поверхности равна:$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a)$

Мы можем перегруппировать множители в этой формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (n \cdot a) \cdot h_a$

Выражение $(n \cdot a)$ — это произведение количества сторон на длину одной стороны, что по определению является периметром основания пирамиды ($P$).

Подставив $P$ в нашу формулу, мы получаем итоговую связь между тремя величинами:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a$

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра её основания на апофему.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) равна половине произведения периметра её основания ($P$) на апофему ($h_a$), что выражается формулой: $S_{бок} = \frac{1}{2} P h_a$.