Номер 13, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Сформулируйте свойства отрезков боковых ребер и высоты пирамиды, на которые они разделяются плоскостью, параллельной основанию.

Рассмотрим произвольную пирамиду и плоскость, которая параллельна её основанию и пересекает её. Эта секущая плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Свойство, связывающее отрезки, на которые эта плоскость делит боковые рёбра и высоту, основано на теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса).

Сформулируем и докажем это свойство.

Пусть дана пирамида с вершиной $S$ и основанием в плоскости $\alpha$. Пусть $SO$ — высота пирамиды. Проведём секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$. Эта плоскость пересекает боковые рёбра $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$ в точках $B_1, B_2, \dots, B_n$ соответственно, а высоту $SO$ в точке $O_1$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через любое боковое ребро, например $SA_1$, и высоту $SO$. Сечением пирамиды этой плоскостью является треугольник $SOA_1$. Так как секущая плоскость $\beta$ параллельна плоскости основания $\alpha$, то прямая $O_1B_1$, по которой плоскость $\beta$ пересекает плоскость $SOA_1$, параллельна прямой $OA_1$.

В треугольнике $SOA_1$ проведена прямая $O_1B_1$, параллельная стороне $OA_1$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle SO_1B_1$ и $\triangle SOA_1$), стороны треугольника делятся в одинаковом отношении, считая от общей вершины $S$: $$ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SO_1}{SO} $$

Поскольку боковое ребро $SA_1$ было выбрано произвольно, аналогичное рассуждение справедливо для любого другого бокового ребра $SA_i$. Таким образом, мы приходим к основному свойству:

Ответ: Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её высоту и боковые рёбра на пропорциональные отрезки. Отношения отрезков, отсчитываемых от вершины, равны между собой: $$ \frac{SO_1}{SO} = \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \dots = \frac{SB_n}{SA_n} $$ где $S$ — вершина пирамиды, $SO$ — её высота, $SA_i$ — боковые рёбра, а точки $O_1$ и $B_i$ — это точки пересечения высоты и рёбер с секущей плоскостью.