Номер 20, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

20. Какое свойство имеют треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить формулу объёма пирамиды. Объём любой пирамиды (в том числе и треугольной) вычисляется по следующей формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $V$ — это объём пирамиды, $S_{осн}$ — это площадь её основания, а $H$ — это высота пирамиды.

Рассмотрим две произвольные треугольные пирамиды, которые удовлетворяют условиям, указанным в вопросе.

Пусть первая пирамида имеет объём $V_1$, площадь основания $S_1$ и высоту $H_1$. Тогда её объём равен:
$V_1 = \frac{1}{3} S_1 \cdot H_1$

Пусть вторая пирамида имеет объём $V_2$, площадь основания $S_2$ и высоту $H_2$. Тогда её объём равен:
$V_2 = \frac{1}{3} S_2 \cdot H_2$

Согласно условию задачи, основания этих пирамид равновеликие, что означает равенство их площадей:
$S_1 = S_2$

Также по условию, высоты этих пирамид равны:
$H_1 = H_2$

Теперь сравним объёмы этих двух пирамид. Подставим $S_2$ вместо $S_1$ и $H_2$ вместо $H_1$ в формулу для объёма первой пирамиды (или наоборот):
$V_1 = \frac{1}{3} S_1 \cdot H_1 = \frac{1}{3} S_2 \cdot H_2 = V_2$

Из этого следует, что объёмы двух пирамид равны: $V_1 = V_2$.

Это свойство является прямым следствием принципа Кавальери, который гласит, что если два тела могут быть расположены так, что площади их сечений, параллельных некоторой плоскости, равны для любой высоты, то объёмы этих тел равны. В данном случае основания равновелики ($S_1=S_2$), и площади сечений на любой высоте $h$ от основания также будут равны, так как $S_{сеч}(h) = S_{осн} \cdot (1 - \frac{h}{H})^2$.

Ответ: треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами имеют равные объёмы (то есть они также являются равновеликими).