Номер 129, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

129. В правильной пирамиде найдите точку, равноудаленную от всех ее:

а) вершин;

б) ребер;

в) граней.

а) вершин

Точка, равноудаленная от всех вершин многогранника, является центром описанной около него сферы. В правильной пирамиде, в силу ее симметрии, центр описанной сферы должен лежать на оси симметрии, которой является высота пирамиды.

Пусть $S$ — вершина правильной пирамиды, $O$ — центр ее основания (правильного многоугольника). Тогда $SO$ — высота пирамиды. Обозначим искомую точку через $P$. Точка $P$ должна лежать на высоте $SO$.

Поскольку точка $P$ лежит на высоте, она равноудалена от всех вершин основания. Пусть $A$ — любая вершина основания. Для того чтобы точка $P$ была равноудалена от всех вершин пирамиды, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ее расстояний до вершины основания $A$ и до вершины пирамиды $S$:

$PA = PS$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $OA$ — радиус $R$ окружности, описанной около основания, а $SO$ — высота $h$ пирамиды. Точка $P$ лежит на катете $SO$. Обозначим расстояние $PO$ через $y$. Тогда $PS = |h - y|$. Поскольку центр сферы обычно находится внутри отрезка, соединяющего вершину с основанием, будем считать $PS = h-y$. Расстояние $PA$ найдем из прямоугольного треугольника $POA$:

$PA^2 = PO^2 + OA^2 = y^2 + R^2$

Приравнивая квадраты расстояний $PS^2 = PA^2$, получаем уравнение:

$(h - y)^2 = y^2 + R^2$

$h^2 - 2hy + y^2 = y^2 + R^2$

$h^2 - R^2 = 2hy$

Отсюда находим положение точки $P$ на высоте:

$y = \frac{h^2 - R^2}{2h}$

Эта точка является пересечением высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к любому боковому ребру. Если $h > R$, точка $P$ находится внутри пирамиды. Если $h < R$, точка $P$ находится вне пирамиды (ниже плоскости основания). Если $h=R$, точка $P$ совпадает с центром основания $O$.

Ответ: Искомая точка — это центр описанной сферы. Она лежит на высоте пирамиды на расстоянии $y = \frac{h^2 - R^2}{2h}$ от центра основания, где $h$ — высота пирамиды, а $R$ — радиус окружности, описанной около основания.

б) ребер

Точка, равноудаленная от всех ребер многогранника, является центром сферы, касающейся всех его ребер. В правильной пирамиде такая точка, если она существует, в силу симметрии должна лежать на высоте пирамиды.

Пусть $Q$ — искомая точка на высоте $SO$, и пусть $QO = y$. Найдем расстояния от точки $Q$ до ребра основания и до бокового ребра и приравняем их.

1. Расстояние до ребра основания. Пусть $r$ — апофема основания (радиус вписанной в основание окружности). Расстояние от точки $Q$ на высоте до любого ребра основания равно длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами $y$ и $r$. Обозначим это расстояние $d_b$:

$d_b = \sqrt{y^2 + r^2}$

2. Расстояние до бокового ребра. Пусть $h$ — высота пирамиды, $R$ — радиус описанной около основания окружности, $l = \sqrt{h^2+R^2}$ — длина бокового ребра. Расстояние от точки $Q$ на высоте до бокового ребра (рассматриваемого как прямая в пространстве) можно найти по формуле расстояния от точки до прямой. Оно равно $d_l$:

$d_l = \frac{R(h-y)}{l} = \frac{R(h-y)}{\sqrt{h^2+R^2}}$

Приравнивая эти два расстояния $d_b = d_l$, получаем уравнение для нахождения $y$:

$\sqrt{y^2 + r^2} = \frac{R(h-y)}{\sqrt{h^2+R^2}}$

Такая точка существует не для всякой правильной пирамиды. Решение $y \in [0, h)$ существует тогда и только тогда, когда расстояние от центра основания до ребра основания ($r$) меньше, чем расстояние от центра основания до бокового ребра ($\frac{Rh}{l}$). Это условие можно записать как $h > R \cot(\frac{\pi}{n})$, где $n$ — число сторон многоугольника в основании. То есть пирамида должна быть достаточно "высокой".

Ответ: Искомая точка — это центр сферы, касающейся всех ребер пирамиды. Она лежит на высоте пирамиды. Ее расстояние $y$ от центра основания является решением уравнения $\sqrt{y^2 + r^2} = \frac{R(h-y)}{\sqrt{h^2+R^2}}$, где $h$ — высота, $r$ — апофема основания, $R$ — радиус описанной окружности основания. Такая точка существует не всегда.

в) граней

Точка, равноудаленная от всех граней многогранника (от плоскости основания и всех боковых граней), является центром вписанной в него сферы. В силу симметрии правильной пирамиды, центр вписанной сферы лежит на ее высоте.

Пусть $I$ — искомая точка на высоте $SO$. Расстояние от точки $I$ до плоскости основания равно длине отрезка $IO$. Обозначим это расстояние (радиус вписанной сферы) через $\rho$. Таким образом, $IO = \rho$.

Расстояние от точки $I$ до любой боковой грани также должно быть равно $\rho$. Для нахождения этого расстояния рассмотрим двугранный угол между плоскостью основания и любой боковой гранью. Этот угол $\alpha$ можно увидеть в сечении пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему основания $OM=r$. В этом сечении получается прямоугольный треугольник $SOM$, где $SO=h$ — высота пирамиды, $OM=r$ — апофема основания, а $SM=s$ — апофема боковой грани (слант-высота), $s = \sqrt{h^2+r^2}$.

Точка $I$ лежит на катете $SO$. Ее расстояние до катета $OM$ (представляющего основание) равно $\rho$. Ее расстояние до гипотенузы $SM$ (представляющей боковую грань) также должно быть $\rho$. Это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$.

Применим свойство биссектрисы к треугольнику $SOM$: биссектриса угла $M$ делит противолежащую сторону $SO$ в отношении, равном отношению прилежащих сторон:

$\frac{IO}{IS} = \frac{OM}{SM}$

Подставляя известные величины ($IO=\rho$, $IS=h-\rho$, $OM=r$, $SM=s$):

$\frac{\rho}{h-\rho} = \frac{r}{s}$

Решим это уравнение относительно $\rho$:

$\rho s = r(h-\rho) \implies \rho s = rh - r\rho \implies \rho(s+r) = rh$

$\rho = \frac{rh}{r+s} = \frac{rh}{r+\sqrt{h^2+r^2}}$

Поскольку $r, h, s$ — положительные величины, радиус вписанной сферы $\rho$ всегда существует, положителен и меньше высоты $h$. Следовательно, такая точка есть в любой правильной пирамиде.

Ответ: Искомая точка — это центр вписанной сферы. Она лежит на высоте пирамиды на расстоянии $\rho = \frac{rh}{r+\sqrt{h^2+r^2}}$ от центра основания, где $h$ — высота пирамиды, $r$ — апофема основания, а $s$ — апофема боковой грани.