Номер 22, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

22. Чему равен объем усеченной пирамиды?

Усеченная пирамида — это многогранник, который является частью полной пирамиды, заключенной между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усеченная пирамида имеет два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными многоугольниками, и боковые грани, которые являются трапециями.

Объем усеченной пирамиды можно вычислить, зная ее высоту и площади обоих оснований. Для расчета объема используются следующие величины:

• $h$ — высота усеченной пирамиды, то есть перпендикулярное расстояние между плоскостями ее оснований.
• $S_1$ — площадь нижнего (большего) основания.
• $S_2$ — площадь верхнего (меньшего) основания.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды выглядит следующим образом:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$

Словесно эту формулу можно описать так: объем усеченной пирамиды равен произведению одной трети ее высоты на сумму площадей нижнего и верхнего оснований, а также их среднего геометрического (квадратного корня из их произведения).

Краткий вывод формулы:
Объем усеченной пирамиды можно представить как разность объемов двух пирамид: полной исходной пирамиды ($V_{полн}$) и малой пирамиды ($V_{мал}$), которая была отсечена от вершины.
$V = V_{полн} - V_{мал}$
Пусть высота полной пирамиды равна $H$, а высота малой — $H_2$. Тогда высота усеченной пирамиды $h = H - H_2$. Объем полной пирамиды $V_{полн} = \frac{1}{3}S_1 H$, а объем малой $V_{мал} = \frac{1}{3}S_2 H_2$. Из-за подобия пирамид отношение их высот равно отношению квадратных корней из площадей их оснований: $\frac{H_2}{H} = \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}$. Выражая $H$ и $H_2$ через $h, S_1, S_2$ и подставляя их в формулу разности объемов, после алгебраических преобразований получается итоговая формула.

Ответ: Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $h$ — высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее нижнего и верхнего оснований соответственно.