Номер 131, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

131. Докажите, что в правильной пирамиде:

а) боковые ребра равны;

б) боковые грани равны;

в) апофемы равны;

г) двугранные углы при основании равны;

д) двугранные углы при боковых ребрах равны;

е) каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;

ж) каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;

з) каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

а) боковые ребра равны;

Пусть $S A_1 A_2 \dots A_n$ — правильная пирамида с вершиной $S$ и основанием — правильным многоугольником $A_1 A_2 \dots A_n$. Пусть $O$ — центр основания. По определению правильной пирамиды, ее высота $SO$ опускается в центр основания $O$. Следовательно, отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания $(A_1 A_2 \dots A_n)$.

Рассмотрим треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$. Все они являются прямоугольными, так как $SO \perp (A_1 A_2 \dots A_n)$, а значит $SO$ перпендикулярен любому отрезку, лежащему в этой плоскости и проходящему через точку $O$, т.е. $SO \perp OA_1, SO \perp OA_2, \dots, SO \perp OA_n$.

Катет $SO$ является общим для всех этих треугольников.

Поскольку основание $A_1 A_2 \dots A_n$ — правильный многоугольник, точка $O$ является центром описанной около него окружности. Отрезки $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$ являются радиусами этой окружности, поэтому они равны между собой: $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.

Таким образом, треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ равны по двум катетам ($SO$ — общий, и $OA_1 = OA_2 = \dots$). Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n$. Эти гипотенузы и являются боковыми ребрами пирамиды.

Ответ: Боковые ребра правильной пирамиды равны, что и требовалось доказать.

б) боковые грани равны;

Рассмотрим боковые грани пирамиды: $\triangle SA_1A_2, \triangle SA_2A_3, \dots, \triangle SA_nA_1$.

В пункте а) было доказано, что все боковые ребра правильной пирамиды равны: $SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n$.

Основанием пирамиды является правильный многоугольник $A_1A_2\dots A_n$, поэтому все его стороны равны: $A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_nA_1$.

Сравним любые две боковые грани, например, $\triangle SA_iA_{i+1}$ и $\triangle SA_jA_{j+1}$. Стороны первого треугольника: $SA_i, SA_{i+1}, A_iA_{i+1}$. Стороны второго треугольника: $SA_j, SA_{j+1}, A_jA_{j+1}$.

Так как $SA_i = SA_{i+1} = SA_j = SA_{j+1}$ (как равные боковые ребра) и $A_iA_{i+1} = A_jA_{j+1}$ (как равные стороны основания), то все боковые грани равны между собой по трем сторонам.

Следовательно, все боковые грани правильной пирамиды — это равные друг другу равнобедренные треугольники.

Ответ: Боковые грани правильной пирамиды равны, что и требовалось доказать.

в) апофемы равны;

Апофемой правильной пирамиды называется высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.

В пункте б) было доказано, что все боковые грани ($\triangle SA_1A_2, \triangle SA_2A_3, \dots$) являются равными треугольниками.

Апофемы являются высотами в этих равных треугольниках, проведенными к равным сторонам (сторонам основания). В равных треугольниках соответствующие элементы, в том числе и высоты, равны.

Пусть $SH_1, SH_2, \dots, SH_n$ — апофемы, проведенные в гранях $\triangle SA_1A_2, \triangle SA_2A_3, \dots$. Так как эти треугольники равны, то равны и их высоты: $SH_1 = SH_2 = \dots = SH_n$.

Ответ: Апофемы правильной пирамиды равны, что и требовалось доказать.

г) двугранные углы при основании равны;

Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Для нахождения его величины строят линейный угол.

Рассмотрим двугранный угол, образованный гранью $SA_1A_2$ и плоскостью основания. Линия их пересечения — ребро $A_1A_2$. Для построения линейного угла проведем два перпендикуляра к $A_1A_2$ в общей точке.

В грани $\triangle SA_1A_2$ проведем апофему $SH_1$. По определению, $SH_1 \perp A_1A_2$.

В плоскости основания проведем отрезок $OH_1$. Так как $\triangle OA_1A_2$ равнобедренный ($OA_1=OA_2$), а $H_1$ — середина $A_1A_2$ (поскольку $SH_1$ в равнобедренном $\triangle SA_1A_2$ является и медианой), то $OH_1$ — медиана и высота, т.е. $OH_1 \perp A_1A_2$.

Угол $\angle SH_1O$ является линейным углом двугранного угла при ребре $A_1A_2$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots$ для всех граней.

• Катет $SO$ (высота пирамиды) — общий.
• Катеты $OH_1, OH_2, \dots$ равны как радиусы вписанной в правильный многоугольник окружности.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots$ равны по двум катетам. Из этого следует равенство их острых углов: $\angle SH_1O = \angle SH_2O = \dots$.

Ответ: Двугранные углы при основании правильной пирамиды равны, что и требовалось доказать.

д) двугранные углы при боковых ребрах равны;

Двугранный угол при боковом ребре — это угол между смежными боковыми гранями.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $SA_2$. Построим его линейный угол. В плоскости грани $SA_1A_2$ опустим перпендикуляр $A_1K$ на ребро $SA_2$. В плоскости грани $SA_2A_3$ опустим перпендикуляр $A_3K$ на то же ребро $SA_2$. Угол $\angle A_1KA_3$ — искомый линейный угол.

Докажем, что высоты из $A_1$ и $A_3$ придут в одну точку $K$. Рассмотрим $\triangle A_1SA_2$ и $\triangle A_3SA_2$. В них $SA_1=SA_3$ (боковые ребра), $SA_2$ - общая сторона. Углы $\angle A_1SA_2$ и $\angle A_3SA_2$ не обязательно равны. Однако, $\triangle SA_1A_2 \cong \triangle SA_2A_3$ (по трем сторонам), поэтому углы при основаниях у них равны: $\angle SA_2A_1 = \angle SA_2A_3$. Теперь рассмотрим $\triangle A_1KA_2$ и $\triangle A_3KA_2$. У них $A_1A_2 = A_2A_3$ (стороны основания), $\angle A_1A_2K = \angle A_3A_2K$ и сторона $A_2K$ общая. По первому признаку равенства треугольников $\triangle A_1KA_2 \cong \triangle A_3KA_2$. Отсюда $A_1K=A_3K$.

Теперь сравним линейный угол $\angle A_1KA_3$ при ребре $SA_2$ с линейным углом $\angle A_2LA_4$ при ребре $SA_3$.

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1KA_3$ и $\triangle A_2LA_4$.

• Их основания $A_1A_3$ и $A_2A_4$ равны как соответствующие диагонали правильного многоугольника.
• Их боковые стороны $A_1K$ и $A_2L$ равны, так как это высоты в равных боковых гранях ($\triangle SA_1A_2 \cong \triangle SA_2A_3$), проведенные из вершин основания к боковым ребрам.

Таким образом, треугольники $\triangle A_1KA_3$ и $\triangle A_2LA_4$ равны по трем сторонам. Из их равенства следует и равенство углов при вершине: $\angle A_1KA_3 = \angle A_2LA_4$.

Ответ: Двугранные углы при боковых ребрах правильной пирамиды равны, что и требовалось доказать.

е) каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;

Пусть $SO$ — высота пирамиды, а $P$ — произвольная точка на этой высоте. Докажем, что $PA_1 = PA_2 = \dots = PA_n$.

Рассмотрим треугольники $\triangle POA_1, \triangle POA_2, \dots, \triangle POA_n$.

Так как $SO \perp (A_1A_2\dots A_n)$ и $P \in SO$, то $PO \perp (A_1A_2\dots A_n)$. Следовательно, все эти треугольники — прямоугольные ($\angle POA_i=90^\circ$).

Отрезок $PO$ является общим катетом для всех этих треугольников.

Катеты $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$ равны как радиусы окружности, описанной около правильного многоугольника.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle POA_1, \triangle POA_2, \dots$ равны по двум катетам. Из этого следует равенство их гипотенуз: $PA_1 = PA_2 = \dots = PA_n$.

Ответ: Каждая точка высоты равноудалена от вершин основания, что и требовалось доказать.

ж) каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;

Пусть $P$ — произвольная точка на высоте $SO$. Докажем, что расстояния от $P$ до ребер основания $A_1A_2, A_2A_3, \dots$ равны. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра.

Пусть $H_1, H_2, \dots$ — середины ребер $A_1A_2, A_2A_3, \dots$. Отрезки $OH_1, OH_2, \dots$ перпендикулярны этим ребрам.

Рассмотрим наклонную $PH_1$. Ее проекция на плоскость основания — это $OH_1$. Так как проекция $OH_1 \perp A_1A_2$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $PH_1 \perp A_1A_2$. Значит, длина $PH_1$ — это расстояние от $P$ до ребра $A_1A_2$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POH_1, \triangle POH_2, \dots$.

• Катет $PO$ — общий.
• Катеты $OH_1, OH_2, \dots$ равны как апофемы правильного многоугольника в основании.

Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Из их равенства следует равенство гипотенуз: $PH_1 = PH_2 = \dots$.

Ответ: Каждая точка высоты равноудалена от ребер основания, что и требовалось доказать.

з) каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Пусть $P$ — произвольная точка на высоте $SO$. Докажем, что расстояния от $P$ до плоскостей боковых граней равны.

Рассмотрим грань $(SA_1A_2)$ и плоскость $(SOH_1)$, проходящую через высоту $SO$ и апофему $SH_1$. Так как ребро основания $A_1A_2$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($OH_1$ и $SO$) в плоскости $(SOH_1)$, то $A_1A_2 \perp (SOH_1)$.

Поскольку плоскость $(SA_1A_2)$ проходит через прямую $A_1A_2$, перпендикулярную плоскости $(SOH_1)$, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Расстояние от точки $P \in (SOH_1)$ до плоскости $(SA_1A_2)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $P$ на линию их пересечения $SH_1$. Обозначим его $PK_1$, где $K_1 \in SH_1$.

Рассмотрим в плоскости $(SOH_1)$ два прямоугольных треугольника: $\triangle SOH_1$ (с прямым углом $O$) и $\triangle SPK_1$ (с прямым углом $K_1$). У них общий острый угол при вершине $S$, следовательно, они подобны: $\triangle SPK_1 \sim \triangle SOH_1$.

Из подобия следует соотношение: $ \frac{PK_1}{OH_1} = \frac{SP}{SH_1} $. Отсюда $ PK_1 = SP \cdot \frac{OH_1}{SH_1} $.

Для любой другой грани $(SA_iA_{i+1})$ расстояние $PK_i$ будет вычисляться аналогично: $ PK_i = SP \cdot \frac{OH_i}{SH_i} $.

Так как пирамида правильная, то апофемы основания равны ($OH_1 = OH_i$) и апофемы пирамиды равны ($SH_1 = SH_i$, доказано в в). Длина отрезка $SP$ для данной точки $P$ постоянна. Следовательно, правая часть выражения не меняется, а значит $PK_1 = PK_2 = \dots$.

Ответ: Каждая точка высоты равноудалена от боковых граней, что и требовалось доказать.