Номер 138, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

138. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей — 10 см. Найдите боковые ребра пирамиды, учитывая, что ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 35 см.

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$, где $S$ - вершина пирамиды. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей ромба $O$ и по условию равна $H = 35$ см. Сторона ромба $a = 13$ см, а одна из диагоналей, пусть это будет $AC$, равна $d_1 = 10$ см.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$, а треугольник $\triangle AOB$ - прямоугольный. Длина половины диагонали $AC$ составляет $AO = \frac{d_1}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. В прямоугольном треугольнике $AOB$ сторона ромба $AB$ является гипотенузой, а $AO$ и $BO$ - катетами. По теореме Пифагора найдем длину половины второй диагонали $BO$:

$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$BO = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, половины диагоналей ромба равны 5 см и 12 см. Расстояния от центра основания (точки $O$) до вершин ромба равны $OA=OC=5$ см и $OB=OD=12$ см.

Боковые ребра пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$) являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках, образованных высотой пирамиды $SO$ и отрезками от точки $O$ до вершин основания. Так как есть два разных расстояния от точки $O$ до вершин, то будет две разные длины боковых ребер.

Найдем длину боковых ребер $SA$ и $SC$, используя прямоугольный треугольник $SOA$ (или $SOC$), где катеты $SO=35$ см и $AO=5$ см:

$SA^2 = SO^2 + AO^2 = 35^2 + 5^2 = 1225 + 25 = 1250$

$SA = SC = \sqrt{1250} = \sqrt{625 \cdot 2} = 25\sqrt{2}$ см.

Найдем длину боковых ребер $SB$ и $SD$, используя прямоугольный треугольник $SOB$ (или $SOD$), где катеты $SO=35$ см и $BO=12$ см:

$SB^2 = SO^2 + BO^2 = 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369$

$SB = SD = \sqrt{1369} = 37$ см.

Следовательно, пирамида имеет две пары равных боковых ребер.

Ответ: два ребра по $25\sqrt{2}$ см и два ребра по 37 см.