Номер 145, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

145. Учитывая, что высота треугольной пирамиды равна 40 см, высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, — 41 см, а периметр основания — 42 см, докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание, и найдите площадь этого основания.

Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание

Пусть дана треугольная пирамида SABC, где S — вершина, а треугольник ABC — основание. Пусть SO — высота пирамиды, где O — точка в плоскости основания. По условию, $SO = 40$ см.

Высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой. Пусть SK, SL и SM — апофемы, проведенные к сторонам BC, AC и AB основания соответственно. По условию, все апофемы равны: $SK = SL = SM = 41$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOK$, $\triangle SOL$ и $\triangle SOM$. В этих треугольниках катет SO является общим (высота пирамиды), а гипотенузы SK, SL и SM равны по условию.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), $\triangle SOK = \triangle SOL = \triangle SOM$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $OK = OL = OM$.

Теперь докажем, что отрезки OK, OL и OM перпендикулярны сторонам основания. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Прямая SO перпендикулярна плоскости основания ABC. SK — наклонная к этой плоскости, а OK — ее проекция. Так как наклонная SK перпендикулярна прямой BC (по определению апофемы), то и ее проекция OK перпендикулярна прямой BC. Аналогично, $OL \perp AC$ и $OM \perp AB$.

Таким образом, точка O (основание высоты пирамиды) равноудалена от всех сторон треугольника ABC. Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности. Следовательно, высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание.

Что и требовалось доказать.

Найдите площадь этого основания

Площадь основания (треугольника ABC) можно найти по формуле, связывающей площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности: $S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Из предыдущего доказательства мы знаем, что отрезки OK, OL и OM являются радиусами вписанной окружности, то есть $r = OK$.

Найдем радиус $r$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$ по теореме Пифагора:

$SK^2 = SO^2 + OK^2$

$r^2 = OK^2 = SK^2 - SO^2$

Подставим известные значения:

$r^2 = 41^2 - 40^2 = (41 - 40)(41 + 40) = 1 \cdot 81 = 81$

$r = \sqrt{81} = 9$ см.

Периметр основания по условию равен $P = 42$ см. Найдем полупериметр:

$p = \frac{P}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь основания:

$S_{осн} = p \cdot r = 21 \cdot 9 = 189$ см².

Ответ: 189 см².