Номер 142, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

142. Трапеция с основаниями 6 см и $4\sqrt{6}$ см и высотой 5 см является основанием пирамиды, каждое боковое ребро которой равно 13 см.

Найдите высоту пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является трапеция $ABCD$, а вершиной — точка $S$. По условию, все боковые ребра пирамиды равны: $SA = SB = SC = SD = 13$ см. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания. Высота пирамиды $H$ — это отрезок $SO$. Расстояние от центра описанной окружности $O$ до любой вершины трапеции равно радиусу этой окружности $R$. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Катетами этого треугольника являются высота пирамиды $H = SO$ и радиус описанной окружности основания $R = OA$, а гипотенузой — боковое ребро $L = SA$. По теореме Пифагора:$L^2 = H^2 + R^2$$H^2 = L^2 - R^2$

Чтобы найти высоту пирамиды $H$, нам необходимо сначала вычислить радиус $R$ окружности, описанной около трапеции. Вписать окружность в трапецию можно только в том случае, если она является равнобедренной.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности равнобедренной трапеции с основаниями $a = 6$ см, $b = 4\sqrt{6}$ см и высотой $h_{трап} = 5$ см, воспользуемся методом координат. Разместим центр описанной окружности в начале координат $O(0, 0)$, а ось симметрии трапеции — на оси $Oy$. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: $C(a/2, y_2)$, $D(-a/2, y_2)$, $B(b/2, y_1)$, $A(-b/2, y_1)$.

Подставим значения оснований $a=6$ и $b=4\sqrt{6}$:$C(3, y_2)$, $D(-3, y_2)$, $B(2\sqrt{6}, y_1)$, $A(-2\sqrt{6}, y_1)$.

Квадрат радиуса $R$ равен квадрату расстояния от центра $O(0,0)$ до любой из вершин:$R^2 = OC^2 = 3^2 + y_2^2 = 9 + y_2^2$$R^2 = OB^2 = (2\sqrt{6})^2 + y_1^2 = 24 + y_1^2$

Приравнивая два выражения для $R^2$, получаем:$9 + y_2^2 = 24 + y_1^2$$y_2^2 - y_1^2 = 15$$(y_2 - y_1)(y_2 + y_1) = 15$

Высота трапеции равна разности y-координат оснований: $h_{трап} = y_2 - y_1 = 5$ см. Подставим это значение в уравнение:$5(y_2 + y_1) = 15$$y_2 + y_1 = 3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$ \begin{cases} y_2 - y_1 = 5 \\ y_2 + y_1 = 3 \end{cases} $Сложив уравнения, получим $2y_2 = 8$, откуда $y_2 = 4$. Подставив $y_2=4$ в первое уравнение, получим $4 - y_1 = 5$, откуда $y_1 = -1$.

Теперь найдем радиус $R$, используя координаты точки $C$:$R^2 = 9 + y_2^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$R = \sqrt{25} = 5$ см.

Наконец, вычислим высоту пирамиды $H$:$H^2 = L^2 - R^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.