Номер 139, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

139. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами основания 6 см и 14 см и одной из диагоналей 12 см, а ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. По условию, стороны основания равны $a = 6$ см и $b = 14$ см. Одна из диагоналей, пусть это будет $d_1$, равна 12 см. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей $O$ и равна $h = 8$ см. Требуется найти длины боковых ребер $SA, SB, SC, SD$.

Поскольку высота пирамиды $SO$ опущена в точку пересечения диагоналей $O$, она перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$ являются прямоугольными, где $SO$ — общий катет.

Боковые ребра являются гипотенузами этих треугольников. Их длины можно найти по теореме Пифагора:

• $SA^2 = SO^2 + AO^2$
• $SB^2 = SO^2 + BO^2$
• $SC^2 = SO^2 + CO^2$
• $SD^2 = SO^2 + DO^2$

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = OC$ и $BO = OD$. Следовательно, боковые ребра будут попарно равны: $SA = SC$ и $SB = SD$.

Найдем длины половин диагоналей. Нам дана одна диагональ $d_1 = 12$ см. Ее половина равна:

$AO = OC = \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Для нахождения второй диагонали $d_2$ воспользуемся свойством параллелограмма, связывающим длины его сторон и диагоналей: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения:

$12^2 + d_2^2 = 2(6^2 + 14^2)$

$144 + d_2^2 = 2(36 + 196)$

$144 + d_2^2 = 2 \cdot 232$

$144 + d_2^2 = 464$

$d_2^2 = 464 - 144 = 320$

$d_2 = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем половину второй диагонали:

$BO = OD = \frac{d_2}{2} = \frac{8\sqrt{5}}{2} = 4\sqrt{5}$ см.

Теперь мы можем вычислить длины боковых ребер.

Найдем длину ребер $SA$ и $SC$:

$SA = SC = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Найдем длину ребер $SB$ и $SD$:

$SB = SD = \sqrt{SO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{64 + 16 \cdot 5} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: длины боковых ребер пирамиды составляют две пары: 10 см, 10 см, 12 см и 12 см.