Номер 141, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

141. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом в $120^\circ$, а боковые ребра образуют с высотой пирамиды, равной 16 см, углы в $45^\circ$. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть S — вершина пирамиды, H = SO = 16 см — её высота, где O — основание высоты, лежащее в плоскости основания. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник ABC. По условию, один из углов треугольника равен 120°. Так как в равнобедренном треугольнике не может быть двух углов по 120°, это угол при вершине. Пусть $∠ABC = 120°$. Тогда углы при основании AC равны между собой: $∠BAC = ∠BCA = (180° - 120°) / 2 = 30°$.

Боковые ребра SA, SB и SC образуют с высотой SO углы по 45°. Это означает, что $∠ASO = ∠BSO = ∠CSO = 45°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой, боковым ребром и его проекцией на основание: ΔSOA, ΔSOB и ΔSOC. Угол при вершине O в каждом из этих треугольников прямой ($∠SOA = ∠SOB = ∠SOC = 90°$), так как SO — перпендикуляр к плоскости основания.

В треугольнике ΔSOA: $∠SOA = 90°$, $∠ASO = 45°$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому $∠SAO = 180° - 90° - 45° = 45°$. Так как два угла равны, треугольник ΔSOA является равнобедренным, и его катеты равны: $OA = SO$.

Поскольку высота $SO = 16$ см, то $OA = 16$ см. Аналогично для треугольников ΔSOB и ΔSOC получаем, что $OB = SO = 16$ см и $OC = SO = 16$ см.

Мы установили, что точка O (основание высоты пирамиды) равноудалена от всех вершин треугольника основания ABC: $OA = OB = OC = 16$ см. Это означает, что точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC, а расстояние от O до вершин является радиусом этой окружности, $R = 16$ см.

Теперь найдем площадь основания — треугольника ABC. Для этого можно использовать различные формулы. Один из способов — найти длины сторон и использовать формулу площади через две стороны и угол между ними.

Воспользуемся обобщенной теоремой синусов для треугольника ABC: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Найдем длину боковых сторон $AB$ и $BC$. Угол, противолежащий этим сторонам, равен 30°. $AB = BC = 2R \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(∠ABC)$. Подставим известные значения: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \sin(120°)$.

Значение синуса 120° равно $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{256\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3}$ см².

Ответ: $64\sqrt{3}$ см².