Номер 148, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

148. В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 60 см и 108 см и площадью $3240 \text{ см}^2$, точка пересечения диагоналей которого является основанием высоты пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды, учитывая, что ее высота равна 36 см.

Обозначим стороны параллелограмма, лежащего в основании пирамиды, как $a$ и $b$. Пусть $a = 108$ см и $b = 60$ см. Площадь основания $S_{осн} = 3240 \text{ см}^2$. Высота пирамиды $H = 36$ см. Основание высоты пирамиды совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, которая является его центром.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольных граней. Так как высота пирамиды проецируется в центр параллелограмма, то противолежащие боковые грани равны. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей двух пар равных треугольников:

$S_{бок} = S_{граней-a} + S_{граней-b}$

где $S_{граней-a}$ — суммарная площадь двух граней с основанием $a=108$ см, а $S_{граней-b}$ — суммарная площадь двух граней с основанием $b=60$ см.

Для нахождения площадей этих треугольников необходимо найти их высоты, которые называются апофемами пирамиды. Обозначим их $l_a$ (для грани со стороной $a$) и $l_b$ (для грани со стороной $b$).

1. Найдем высоты параллелограмма, проведенные к его сторонам. Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, и $h_b$ — высота, проведенная к стороне $b$.

$S_{осн} = a \cdot h_a \implies h_a = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{3240}{108} = 30 \text{ см}$

$S_{осн} = b \cdot h_b \implies h_b = \frac{S_{осн}}{b} = \frac{3240}{60} = 54 \text{ см}$

2. Апофемы $l_a$ и $l_b$ являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках. Катетами в этих треугольниках служат высота пирамиды $H$ и отрезки, соединяющие центр параллелограмма с основаниями апофем. Эти отрезки (назовем их $m_a$ и $m_b$) равны половинам соответствующих высот параллелограмма.

Расстояние от центра параллелограмма до стороны $a$ равно $m_a = \frac{h_a}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Расстояние от центра до стороны $b$ равно $m_b = \frac{h_b}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

3. Найдем апофему $l_a$ (высоту боковой грани, проведенную к стороне $a = 108$ см). Она находится по теореме Пифагора:

$l_a = \sqrt{H^2 + m_a^2} = \sqrt{36^2 + 15^2}$

$l_a = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39 \text{ см}$

4. Найдем апофему $l_b$ (высоту боковой грани, проведенную к стороне $b = 60$ см):

$l_b = \sqrt{H^2 + m_b^2} = \sqrt{36^2 + 27^2}$

$l_b = \sqrt{1296 + 729} = \sqrt{2025} = 45 \text{ см}$

5. Теперь вычислим площади боковых граней.

Площадь двух граней с основанием $a = 108$ см:

$S_{граней-a} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot l_a\right) = a \cdot l_a = 108 \cdot 39 = 4212 \text{ см}^2$

Площадь двух граней с основанием $b = 60$ см:

$S_{граней-b} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot b \cdot l_b\right) = b \cdot l_b = 60 \cdot 45 = 2700 \text{ см}^2$

6. Найдем полную площадь боковой поверхности пирамиды, сложив площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{граней-a} + S_{граней-b} = 4212 + 2700 = 6912 \text{ см}^2$

Ответ: $6912 \text{ см}^2$.