Номер 155, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

155*.Двугранные углы при основании пирамиды все равны φ. Докажите,

что $S_{\text{бок}} = \frac{Q}{\cos \varphi}$, $S_{\text{полн}} = \frac{2Q \cos^2 \frac{\varphi}{2}}{\cos \varphi}$, где $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$ — боковая и полная поверхности пирамиды, $Q$ — площадь ее основания.

По условию, все двугранные углы при основании пирамиды равны $\phi$. Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Равенство этих углов означает, что вершина пирамиды проецируется в точку, равноудаленную от всех сторон многоугольника в основании, то есть в центр вписанной в основание окружности.

Обозначим площадь основания пирамиды как $Q$, площадь боковой поверхности как $S_{бок}$ и площадь полной поверхности как $S_{полн}$.

Докажите, что $S_{бок} = \frac{Q}{\cos \phi}$

Для доказательства воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника. Согласно этой теореме, площадь проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между их плоскостями.

Основание пирамиды, имеющее площадь $Q$, является ортогональной проекцией её боковой поверхности (площадью $S_{бок}$) на плоскость основания. Поскольку все боковые грани наклонены к основанию под одним и тем же углом $\phi$, теорему можно применить ко всей боковой поверхности целиком.

Таким образом, мы можем записать следующее соотношение: $Q = S_{бок} \cdot \cos \phi$

Выражая из этой формулы площадь боковой поверхности, получаем требуемое: $S_{бок} = \frac{Q}{\cos \phi}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{Q}{\cos \phi}$

Докажите, что $S_{полн} = \frac{2Q \cos^2 \frac{\phi}{2}}{\cos \phi}$

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ представляет собой сумму площади её боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $Q$: $S_{полн} = S_{бок} + Q$

Подставим в это равенство выражение для $S_{бок}$, доказанное в предыдущем пункте: $S_{полн} = \frac{Q}{\cos \phi} + Q$

Приведём слагаемые к общему знаменателю и вынесем общий множитель $Q$ за скобки: $S_{полн} = \frac{Q + Q \cdot \cos \phi}{\cos \phi} = Q \cdot \frac{1 + \cos \phi}{\cos \phi}$

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим косинус с косинусом половинного угла: $1 + \cos \phi = 2 \cos^2 \frac{\phi}{2}$.

Подставим это выражение в формулу для полной поверхности: $S_{полн} = Q \cdot \frac{2 \cos^2 \frac{\phi}{2}}{\cos \phi} = \frac{2Q \cos^2 \frac{\phi}{2}}{\cos \phi}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{2Q \cos^2 \frac{\phi}{2}}{\cos \phi}$