Номер 162, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

162. Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 1 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Пусть дана усеченная пирамида $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ — большее основание, а $A_1B_1C_1$ — меньшее. Основаниями являются правильные треугольники со сторонами $a=5$ см и $b=3$ см соответственно.

По условию, одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро $AA_1$. Его длина, которая также является высотой усеченной пирамиды, равна $h = AA_1 = 1$ см.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех боковых граней, которые являются трапециями: $AA_1B_1B$, $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$. Для нахождения общей площади боковой поверхности найдем площадь каждой из этих граней.

Площадь граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$

Поскольку ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, оно перпендикулярно и прямым $AB$ и $AC$, лежащим в этой плоскости ($AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$). Следовательно, боковые грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ являются прямоугольными трапециями, где $AA_1$ — их высота.

Площадь трапеции $AA_1B_1B$ с основаниями $AB=5$ и $A_1B_1=3$ и высотой $AA_1=1$ равна: $S_1 = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{5 + 3}{2} \cdot 1 = 4$ см$^2$.

Площадь трапеции $AA_1C_1C$ с основаниями $AC=5$ и $A_1C_1=3$ и высотой $AA_1=1$ равна: $S_2 = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{5 + 3}{2} \cdot 1 = 4$ см$^2$.

Площадь грани $BB_1C_1C$

Грань $BB_1C_1C$ является трапецией с основаниями $BC=5$ и $B_1C_1=3$. Чтобы найти ее площадь, необходимо найти длины боковых ребер $BB_1$ и $CC_1$, а затем высоту трапеции.

Рассмотрим проекцию ребра $BB_1$ на плоскость основания $ABC$. Проекцией точки $B_1$ является точка $P$ на этой плоскости. Так как $AA_1$ — высота, то проекция верхнего основания $A_1B_1C_1$ на плоскость нижнего — это треугольник, конгруэнтный $A_1B_1C_1$, с вершиной в точке $A$. Поскольку основания — правильные треугольники, сориентированные одинаково, проекция $P$ точки $B_1$ будет лежать на отрезке $AB$. При этом $AP = A_1B_1 = 3$ см. Тогда длина отрезка $PB$ равна $PB = AB - AP = 5 - 3 = 2$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BPB_1$ (где $\angle B_1PB = 90^\circ$). Катет $B_1P$ равен высоте пирамиды $h=1$ см. Длину ребра $BB_1$ найдем по теореме Пифагора: $BB_1 = \sqrt{PB^2 + (B_1P)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ см.

Аналогично для ребра $CC_1$. Его проекция на основание — отрезок $QC$, где $Q$ — проекция $C_1$. Точка $Q$ лежит на $AC$, и $AQ=A_1C_1=3$ см. Тогда $QC = AC - AQ = 5 - 3 = 2$ см. Длина ребра $CC_1$ из прямоугольного треугольника $CQC_1$: $CC_1 = \sqrt{QC^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ см.

Так как $BB_1 = CC_1 = \sqrt{5}$ см, трапеция $BB_1C_1C$ является равнобедренной. Найдем ее высоту $h_3$. Для этого опустим перпендикуляр из вершины $B_1$ на основание $BC$. В равнобедренной трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности длин оснований: $d = \frac{BC - B_1C_1}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ см. Высоту $h_3$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $BB_1$, высотой $h_3$ и отрезком $d$: $h_3 = \sqrt{BB_1^2 - d^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь можно вычислить площадь $S_3$ трапеции $BB_1C_1C$: $S_3 = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot h_3 = \frac{5 + 3}{2} \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Общая площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 4 + 4 + 8 = 16$ см$^2$.

Ответ: 16 см$^2$.