Номер 160, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

160. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3.

Найдите эти стороны.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, где $a_1$ — сторона большего основания, а $a_2$ — сторона меньшего. По условию задачи даны: высота пирамиды $h = 63$ см, апофема $l = 65$ см, и соотношение сторон оснований $a_1 : a_2 = 7 : 3$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда стороны оснований будут равны $a_1 = 7x$ и $a_2 = 3x$.

Апофема, высота и разность полудлин отрезков, соединяющих центры оснований с серединами их сторон, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это апофема $l$;
• один катет — это высота пирамиды $h$;
• второй катет — это разность расстояний от центров оснований до их сторон, которая равна $\frac{a_1}{2} - \frac{a_2}{2} = \frac{a_1 - a_2}{2}$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$l^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

Подставим известные значения и выражения для сторон в формулу:$65^2 = 63^2 + \left(\frac{7x - 3x}{2}\right)^2$

Решим полученное уравнение:$4225 = 3969 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2$$4225 = 3969 + (2x)^2$$4225 - 3969 = 4x^2$$256 = 4x^2$$x^2 = \frac{256}{4}$$x^2 = 64$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем положительное значение корня:$x = \sqrt{64} = 8$

Теперь найдем длины сторон оснований, подставив значение $x$:Сторона большего основания: $a_1 = 7x = 7 \cdot 8 = 56$ см. Сторона меньшего основания: $a_2 = 3x = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Ответ: 56 см и 24 см.