Номер 166, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

166. Найдите поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а высота — 20 см.

Условие задачи: дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона ее основания $a = 8$ см, а высота $H = 20$ см. Необходимо найти площадь полной поверхности и объем пирамиды.

Объем

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основанием является квадрат. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2$

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем:

$V = \frac{1}{3} \cdot 64 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = \frac{1280}{3} \text{ см}^3$

Это значение можно представить в виде смешанной дроби $426 \frac{2}{3} \text{ см}^3$ или десятичной дроби $ \approx 426,67 \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{1280}{3} \text{ см}^3$ (или $426 \frac{2}{3} \text{ см}^3$).

Поверхность

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) складывается из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания уже найдена: $S_{осн} = 64 \text{ см}^2$.

Боковая поверхность представляет собой сумму площадей четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания (квадрата):

$P = 4a = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}$

2. Найдем апофему $l$. Апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота пирамиды $H$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$

$l = \sqrt{20^2 + (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{400 + 4^2} = \sqrt{400 + 16} = \sqrt{416}$

Упростим корень: $l = \sqrt{16 \cdot 26} = 4\sqrt{26} \text{ см}$.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 32 \text{ см} \cdot 4\sqrt{26} \text{ см} = 16 \cdot 4\sqrt{26} = 64\sqrt{26} \text{ см}^2$

4. Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64 + 64\sqrt{26} \text{ см}^2$

Можно вынести общий множитель за скобки для более компактной записи:

$S_{полн} = 64(1 + \sqrt{26}) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{полн} = 64(1 + \sqrt{26}) \text{ см}^2$.