Номер 173, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

173. Найдите объем пирамиды, основанием которой является:

а) равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB$ и $BC$, равными 26 см, и основанием $AC$, равным 20 см, а каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в $30^{\circ}$;

б) прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, а каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\varphi$;

в) ромб со стороной 15 см, каждый из двугранных углов при основании равен $45^{\circ}$, а высота пирамиды равна 6 см.

а) Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.
Основанием является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 26$ см и основанием $AC = 20$ см. Проведем высоту $BH_1$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $AH_1 = H_1C = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
Из прямоугольного треугольника $ABH_1$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH_1$:
$BH_1 = \sqrt{AB^2 - AH_1^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.
Площадь основания равна:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH_1 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 24 = 240$ см².

2. Найдем высоту пирамиды $H$.
По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в $30^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника основания $ABC$. Таким образом, отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусом $R$ этой окружности, а высота пирамиды $H$ равна $SO$.
Радиус описанной окружности для треугольника можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника.
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S_{осн}} = \frac{26 \cdot 26 \cdot 20}{4 \cdot 240} = \frac{13520}{960} = \frac{169}{12}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). $SO = H$, $OA = R$. Угол между боковым ребром $SA$ и высотой $SO$ равен $\angle ASO = 30^\circ$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $\text{tg}(\angle ASO) = \frac{OA}{SO} = \frac{R}{H}$.
Отсюда $H = \frac{R}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{169/12}{1/\sqrt{3}} = \frac{169\sqrt{3}}{12}$ см.

3. Найдем объем пирамиды.
$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 240 \cdot \frac{169\sqrt{3}}{12} = 80 \cdot \frac{169\sqrt{3}}{12} = \frac{20 \cdot 169\sqrt{3}}{3} = \frac{3380\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{3380\sqrt{3}}{3}$ см³.

б) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\phi$.

1. Найдем площадь основания.
Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ равна: $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$.
Так как все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\phi$, вершина пирамиды проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы.
Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.
Высота пирамиды $H$ связана с радиусом $R$ и углом наклона ребра $\phi$ через прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, проекцией бокового ребра на основание (это $R$) и самим боковым ребром. Угол $\phi$ — это угол между боковым ребром и его проекцией.
$\text{tg}(\phi) = \frac{H}{R}$.
Отсюда $H = R \cdot \text{tg}(\phi) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \text{tg}(\phi)$.

3. Найдем объем пирамиды.
$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}ab\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \text{tg}(\phi)\right) = \frac{ab \sqrt{a^2 + b^2} \text{tg}(\phi)}{12}$.

Ответ: $\frac{ab \sqrt{a^2 + b^2} \text{tg}(\phi)}{12}$.

в) В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15 см, каждый из двугранных углов при основании равен $45^\circ$, а высота пирамиды равна 6 см.

1. Найдем площадь основания.
Так как все двугранные углы при основании равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в основание. Для ромба — это точка пересечения диагоналей. Высота пирамиды $SO = H = 6$ см.
Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Рассмотрим перпендикуляр $OK$, опущенный из точки $O$ на сторону ромба. $OK$ является радиусом вписанной окружности $r$. Треугольник $SOK$ прямоугольный, и его катет $SO$ — высота пирамиды, а угол $\angle SKO$ — линейный угол двугранного угла, равный $45^\circ$.
Из прямоугольного треугольника $SOK$:
$\text{tg}(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$.
$\text{tg}(45^\circ) = \frac{6}{r} \Rightarrow 1 = \frac{6}{r} \Rightarrow r = 6$ см.
Высота ромба $h_{ромб}$ в два раза больше радиуса вписанной окружности: $h_{ромб} = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Площадь ромба вычисляется как произведение стороны на высоту:
$S_{осн} = \text{сторона} \cdot h_{ромб} = 15 \cdot 12 = 180$ см².

2. Найдем объем пирамиды.
Высота пирамиды дана по условию: $H = 6$ см.
$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 180 \cdot 6 = 60 \cdot 6 = 360$ см³.

Ответ: 360 см³.