Номер 175, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

175. Основанием пирамиды $IJKL$ является треугольник, в котором $JK = 20$ см, $JL = 29$ см, $KL = 21$ см. Грани $IJK$ и $IJL$ перпендикулярны плоскости основания, а грань $IKL$ составляет с ней угол в $60^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды $IJKL$ воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

1. Определение высоты пирамиды.

По условию задачи, грани $IJK$ и $IJL$ перпендикулярны плоскости основания $JKL$. Поскольку эти две плоскости пересекаются по ребру $IJ$, то их линия пересечения, ребро $IJ$, перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, ребро $IJ$ является высотой пирамиды. Обозначим $H = IJ$.

2. Вычисление площади основания.

Основанием пирамиды является треугольник $JKL$ со сторонами $JK = 20$ см, $JL = 29$ см и $KL = 21$ см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Найдем полупериметр треугольника $JKL$:

$p = \frac{JK + JL + KL}{2} = \frac{20 + 29 + 21}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{35(35-21)(35-29)(35-20)} = \sqrt{35 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 15}$

$S_{осн} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см².

3. Вычисление высоты пирамиды.

Угол между гранью $IKL$ и плоскостью основания $JKL$ равен $60^\circ$. Этот угол является двугранным углом, и его линейная мера определяется углом между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения граней (прямой $KL$).

Проведем в плоскости основания из точки $J$ высоту $JM$ к стороне $KL$. Таким образом, $JM \perp KL$.

Поскольку $IJ$ — высота пирамиды ($IJ \perp$ плоскости $JKL$), а $JM$ — проекция наклонной $IM$ на эту плоскость, и так как проекция $JM$ перпендикулярна прямой $KL$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $IM$ также перпендикулярна $KL$ ($IM \perp KL$).

Следовательно, угол $\angle IMJ$ является линейным углом двугранного угла между гранью $IKL$ и основанием $JKL$, и $\angle IMJ = 60^\circ$.

Треугольник $\triangle IJM$ является прямоугольным, так как $IJ \perp JM$. Мы можем найти длину катета $JM$, который является высотой треугольника $JKL$, из его площади:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot JM \Rightarrow JM = \frac{2 \cdot S_{осн}}{KL} = \frac{2 \cdot 210}{21} = 20$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle IJM$ найдем высоту пирамиды $H = IJ$:

$\tan(\angle IMJ) = \frac{IJ}{JM} \Rightarrow H = IJ = JM \cdot \tan(60^\circ) = 20 \cdot \sqrt{3}$ см.

4. Вычисление объема пирамиды.

Зная площадь основания и высоту, находим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot 20\sqrt{3} = 70 \cdot 20\sqrt{3} = 1400\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $1400\sqrt{3}$ см³.